【数学】抛物线的平移

二次函数图象的平移...

二次函数图象的平移问题是二次函数中的一大难点，也是学生最难掌握的内容. 虽然很多老师总结出了平移的方法：左加右减，上加下减，但在遇到实际问题时，很多同学还是一头雾水，对具体的抛物线图象变化，到底应该是向左还是向右平移，向上还是向下平移，平移多少单位，心中没有把握。其实，只要有正确的方法，还是很容易解决二次函数的平移问题的，下面介绍解决平移问题的方法，希望大家能够理解并运用.二次函数常用表达式的平移规律和方法

①顶点式：





②一般式：





以上两种二次函数表达式的平移规律我们可以简记为“左加右减，上加下减”，其中要特别注意的是“左加右减”指的是给表达式中每一项中的x加或减，“上加下减”则是给表达式中等号右边整体加或减。

二次函数在平移的过程中，图象的形状和大小并没有发生改变，改变的只是图象的位置. 我们也发现图象的平移方向和距离与图象上每个点的平移方向和距离都是一致的. 因此，也可以将二次函数图象的平移问题转化为顶点的平移问题.

对于顶点式
来说，系数a决定抛物线的形状和大小，h和k决定抛物线的位置，那么对于顶点式的平移我们还可以总结以下规律：

若抛物线
平移后抛物线的顶点为（m，n），那么平移后的表达式为
，因此我们可以利用顶点的平移找出平移后抛物线的顶点，便可以直接写出平移后的表达式。此方法可以很有效的解决“已知平移前后的二次函数表达式，求平移路径的一类题目”，前提是一定要将表达式化为顶点式。二次函数平移的常考题型

①已知平移前二次函数表达式及平移路径，求平移后的二次函数表达式

解决此类问题可以直接在平移前的表达式中运用“左加右减”来求解.

②已知平移前后二次函数表达式，求平移路径

解决此类问题时，先将平移前后的二次函数表达式均化为顶点式，然后看平移前的顶点坐标与平移后的顶点坐标有怎样的平移路径，即二次函数的平移路径.

③已知平移路径及平移后的二次函数表达式，求平移前的二次函数表达式

解决此类问题时，可以利用“逆向思维”来解决，即把平移后的二次函数看作已知，平移路径则按照“向左（右）平移”变为“向右（左）平移”，“向上（下）平移”变为“向下（上）平移”，即将平移方向改变为原方向的相反方向，再按照“左加右减，上加下减”来求平移前的二次函数表达式.例1　已知抛物线
，将该抛物线向右平移5个单位，再向上平移4个单位，求新抛物线的解析式.

解：原抛物线的顶点坐标为（-2，-1），向右平移5个单位，向上平移4个单位，得到新的顶点坐标（3，3），则新的抛物线的解析式为
.

【想一想，你还有另外的解法吗 】

例2　函数y=2(x-3)2+3的图象是由y=2(x+2)2-1的图象经过怎样的平移变化得到的？

解：1. 先确定两个抛物线的顶点坐标。变化前顶点坐标为（-2，-1），变化后的顶点坐标为（3，3）；

2. 在直角坐标系中画出变化前后两个顶点的位置；点（-2，-1）向右平移5个单位，向上平移4个单位即可得到点（3，3）.

3. y=2(x+2)2-1的图象先向右平移5个单位，再向上平移4个单位即可得到y=2(x-3)2+3的图象.



例3 　将抛物线
向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线
，求a，b，c的值.

【点拨：可用逆向思维】

解：

∵
，

∴ 把抛物线
向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线
，

∴  
，

∴  a=1，b=8，c=20.

（本期完）



责任编辑：党娅萍

排版：万唯教育培训中心

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