小学数学名题巧解3：丢番图难题

丢番图，代数学之父。...



丢番图是古希腊的著名数学家（约公元246—330年，据推断和计算而知），是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。

对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》【这是公元500年前后的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞】。亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。

从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为『代数学之父』（还有韦达）不无道理。（资料来自百度百科）

帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他在少年时就跟随丢番图学习数学。有一天，他向老师请教这样一个问题：“有四个数，把其中每三个相加，其和分别为22、24、27、20，这四个数分别是什么？”

他说：“这个问题看起来简单，但是做起来麻烦，因为有四个未知数，如果要列方程，就要设四个未知数，解起来太麻烦，请问老师，有没有什么巧方法？”

丢番图回答：“有，有，题目中有四个未知数，无论设哪一个为x，其余三个数都不能通过x表示出来，所以对解题没有太多的帮助。但是这四个数的和却与这四个数有明显的关系，我们只要设这和为x，这四个数就能通过它们的和分别表示出来。”

于是，丢番图设四个数的和为x，那么这四个数就分别是：x-22，x-24，x-27，x-20.立即得方程为：

x=x-22+x-24+x-27+x-20，x=31，这四个数分别是9、7、4、11。

丢番图的解法让帕普斯钦佩，我也把这题给女儿解了，她没有用方程做，解法如下：

22+24+27+20=93（求出3倍的4个数的和，因为每个数都加了3遍）

93÷3=31（求4个数的和）

31-22=9

31-24=7

31-27=4

31-20=11

丢番图的出生日期不确凿，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目：

"坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，

又过了十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，

可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。

终于告别数学，离开了人世。“



你知道丢番图活了多少岁吗？

    关注 麦思齐行通识教育