图说摆线所围面积
用图形的方式，生动展示摆线下所含区域面积的大小。...
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（2）我们用正方形来代替上面的三角形，进行类似的翻转运动。如下图所示。原来位于水平直线上的正方形左边顶点也将随着每次翻转变化到另外的位置。翻转三次后，原红色顶点又一次落在水平直线上。依次连接红色顶点，得到一条折线，它与水平直线围成的图形是一个等腰梯形。很容易看出，它的面积是正方形面积的3倍。注意，这里也是3倍的关系。
（3）下面该轮到正五边形了。如下图所示。下图中的（上）图是正五边形运动过程图。红色顶点连接成折线，并与水平直线围成一个区域，这个区域的面积是正五边形面积的3倍。这里的3倍关系不是很容易看出，下图中的（下）图给出了图说：所求区域中已包含了一个正五边形，那么，左右对称的两个不规则五边形的面积若都等于正五边形的面积就OK了。图中我们把左边不规则五边形（粗黑框所围）分割成三块（红、粉、绿），然后，把这三块等面积变换到水平直线下方构成一个新的正五边形。（留下几个问题请您自己考虑：为什么两个绿色三角形面积是相等的？为什么两个红色三角形面积也是相等的？）
（4）下面，我们翻转正六边形。如下图所示。最后所得类似的折线与水平直线围成图形的面积，是正六边形面积的3倍。这点可以通过数一数小三角形的个数而得以证明。正六边形由6个正三角形组成，而所求区域正好由16个这样的正三角形及两个与小正三角形面积相等的等腰三角形组成，总面积正好是18个小正三角形面积的和。这正好就是三个正六边形的面积和。所以，还是3倍关系。
（5）再来看一下正八边形的情况（对七边形情况，3倍关系也是对的，这里不讨论了）。下图中有三个小图，（上）图是正八边形在直线上翻转的过程。一共翻转7次，留下8个红点。依次连接这8个红点所得折线与水平直线围成图形的面积，也是3个正八边形面积之和。（中）图和（下）图以颜色给出了答案。（中）图中是三个正八边形，每个正八边形被划分成六个三角形，并涂以颜色：全等的三角形涂以相同颜色，不全等的三角形涂以不同的颜色。这样，得到红色、蓝色和绿色三角形各6个。下图中，一半的面积用了各三个这三种颜色的三角形，所以，所求图形面积正好是3个正八边形面积的和。仍然是3倍关系。
（6）最后，不断加大正多边形的边数，让它接近于圆。可以想像，圆上最初落在直线上的一点随着圆的滚动，留下运动轨迹，这个轨迹就叫做摆线。由前面从边长较少的正三形开始，然后，边数逐渐增多，最后趋近于圆。这个正多边形边数逐渐增多的过程就是一个取极限的过程，圆就是这个极限。一个周期的摆线（也叫做一拱，即原本落在水平直线上的点再次落到直线上时的这段轨迹），与水平直线围成图形的面积也必然等于圆的面积的3倍。下面的小动画是摆线生成的过程。其中圆心走过的距离正好等于圆的周长。
（7）知识拓展：把上面的上凸摆线转180度成为上凹摆线，截取半拱。则这个半拱是最速降线。也就是说，一个小球从半拱上端自由下滑到末端所用时间，比沿其他曲线下滑到同一点，所用时间最少。并且，摆线还是等时曲线，即从半拱摆线最高端放开小球，它到达最末端所用时间，与从半拱中途任意一处放开小球，它到达底端所用时间是相等的。
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