典型习题：(07020401)一阶微分方程求解基本思路

求解一阶微分方程的基本思路：x0a1．改写结构，对比标准可求解类型。x0a2．变量替换，构建标准类型。x0a3．对调因变量与自变量。x0a常用的一阶微分方程的标准类型：x0a可分离变量的微分方程、x0a齐次方程、x0a一阶线性微分方程、x0a伯努利方程、x0a全微分方程、...



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习题与参考答案



内容小结与知识点

求解一阶微分方程的基本思路：

1．改写结构，对比标准可求解类型

适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：

l可分离变量的微分方程：具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，有l齐次方程：将原方程转换为可分离变量的微分方程求解。

l一阶线性微分方程：当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式直接得到通解。

l伯努利方程：

通过两端同时除以yn，令z=y1-n，将方程转换为一阶线性微分方程求解。

l全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解。

2．变量替换，构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解。

3．对调因变量与自变量

将求解y函数转换为求x函数：然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解。

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