好玩数学 / 为什么不能除以0？

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认真听课的同学应该记得

唐老师在上节课中提到任何数不能除以0

那么到底是为什么呢？

如果你问苹果手机上的Siri，“零除以零等于多少”，它会显示：



但是，英文版的Siri还会用语音说这一段话：

“假如你有0块饼干，要分给0个朋友，每个人能分到几块？你看，这个问题没有任何意义吧？甜饼怪会难过，因为没有饼干吃，而你也会难过，因为你一个朋友都没有。”抛开这个伤人的回答不论（有朋友谁会跟你聊天啊喂！），除以零确实是个困扰很多人的问题。十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少？小学数学就会告诉你，答案是不能除。但是为什么？零也是个数字，它到底哪里特殊了？

下面从小学、初中、高中三个阶段来一一解释

小学篇

小学算术里，这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢？想象不出来嘛！所以不能除。

敏锐的同学可能会想到，要是0个饼干分给0个人的话，本来无一物，好像就没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的呀，根本无法给出一个单一确定的数值。

这结论没错，但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来，不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的，买菜是够用了，但要进一步发展，就必须要有定义和证明——所以，我们上了中学。

初中篇

现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现，除法和乘法互为逆运算，所以问

1 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 1

好了，按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满足x的数字不存在，所以不能除。

同样，如果问

0 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 0

同理，任何数字都可以满足x，所以也不能除——无法确定一个单一的答案。

高中篇

等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式：反证法。

一堆真的表述，不能推出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。

所以，已知

0 * 1 = 0

0 * 2 = 0

推出  0 * 1 = 0 * 2

两边同时除以零，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化简得到 1 = 2。这显然是错的啦。

那么，问题解决了吧！其实还没有。想想另一个问题：-1的平方根是多少？

你可能会说，-1不能开平方根，因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数，我要是增加一个定义呢？定义i^2=-1，这就创造出了虚数，于是-1也能开平方根了。

那么，为何不能定义一个“新”的数，让 1 / 0 也等于它，并为这个数设立一套运算法则呢？这就得去大学里回答了。

总结篇
所以，当我们说不能除以零的时候，理由……竟然出乎意料地充足。有许多直觉在数学里被推翻了，但是这一条没有。我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因，虽然也许听起来不如Siri的回答那么心暖（或者心寒），但这些理性的愉悦也是一种美丽，对吧？

部分内容来源：果壳、作者：魏郎尔

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