高数：定积分计算的问题类型、基本思路与参考课件

高数：定积分计算的问题类型、基本思路与参考课件x0a定积分的计算步骤x0a定积分等式证明的常用基本思路...

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定积分的计算步骤：

Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算. 例如课件中奇偶性性质的证明后的练习.

Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算. 例如课件中周期性性质的证明后的练习.

Step3：对需要计算的最终被积函数在指定区间上的定积分，考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分，例如例8，练习Ex3、Ex5.

Step4：如果不能考虑分部积分法，则首先考虑定积分的换元法. 换元表达式的选取与使用方法与不定积分一样，也有第一类和第二类换元法（三角代换、根式代换、倒代换等），换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！例如课件中的例1、例2、例3.

定积分等式证明的常用基本思路：

证明等式两侧定积分相等的一般思路从三个方向出发：一个从积分区间的差异出发，通过换元、或分割积分区间，使得积分区间相同，然后变换被积函数得到等式相等；一个是通过比较两个被积函数的异同，同样一般通过换元方式验证等式成立；比如课件中的例4、例5、例6. 另外一个就是对于符合分部积分法结构的积分进行分部积分，验证等式成立，例如练习Ex5.

【注1】对于定积分的计算，我们完全可以基于微积分的基本公式，即定积分的牛顿-莱布尼兹公式，先求出被积函数的一个原函数，则定积分的值为该原函数关于定积分上限的函数值减去关于定积分下限的函数值.

【注2】定积分的值也可以借助几何意义获取，如课件中的例1.

【注3】对于常见的结果最好能够记住，比如华莱士公式.

参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：