平行四边形的存在性问题（二)

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初中数学解法研究

已知A、B、C、D四点构成平行四边形，请由右图直接写出D点的坐标。

第一步：分别以边（红、蓝、紫）为对角线分类；

第二步：画出第四点；第三步：计算方法思考；

⑴  平行四边形由两个全等的三角形构成，最基础的全等思想可否求出第四点？

可得对角线CD1垂直于x轴，因此由A、B分别向对角线CD1作垂线，垂足记为H、G。易证△AHD1≌△BGC； 计算可得AH=BG=2，D1H=CG=3，得到D1点坐标为D1（1，6）。

⑵ 坐标的平移可否实施；

观察B点向C点平移（先向左平移两格再向下平移三格），因此点A先向左平移两格，横坐标减2，再向下平移三格，纵坐标减3，得到D2点坐标为D2（-3，0）。

⑶ 用中点坐标公式，结合对称性进行计算；

将平行四边形ABD3C的对角线交点设为O3。O3既是线段BC的中点，又是线段AD3的中点，由中点公式可得：

XO=(XB+XC)/2=(3+1)/2= 2 =（XA+XD）/2=(-1+XD)/2；

同理： YO=(YB+YC)/2=(2-1)/2=1/ 2 =（YA+YD）/2=(3+YD)/2；

计算得到D3点坐标为D3（5，-2）。




哪种方法更便捷？



结论：如果已知平行四边形的三个点（定点），求第四个点的方法即为：一分类、二画图、三计算；

如果只已知两个定点呢？方法也是类同的。例题再探究解答：

⑴ 由旋转可得A’（0，2），B’（-4，0）；

直线A’B’的表达式为y=0.5x+2；

⑵  先求得C点坐标，再代入△B’CM的面积公式； 得M（-1，0）；

⑶   P(1.4，1.2)，Q（-2.4，0.8）。

问题3中两个动点P、Q是怎么得到的呢？同学们能否给出你们的计算方法？先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照计算的方法，写出第四个顶点的坐标。再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标。

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