考试特辑 不要让敏女神喊你辣鸡了

在信管所有的群里，少不了的一张表情包就是 尤其是临近微积分考试和微积分考试完此表情包就会再次泛滥所以，为了...

“讲真，前几天大佬张祎让我写这个我内心是拒绝的。毕竟已经很久没有做过微积分了，有点生疏。所以，我写的这个主要是粗线条给大家讲一下如何复习微积分还有一点解题技巧，细节部分梓博写的已经很好了。好了，废话不多说，下面直接进入正题。”

——宜鸿大佬

复习数学最重要的一点是要建立对数学的兴趣，数学不是洪水猛兽，所以大家也不需要“谈微色变”。不过，我觉得大家对于高数的兴趣还是很好建立的，毕竟大家的数学老师都是周敏。我可以说大一时周敏是我女神么？当然，这只是我努力学习微积分的一个因素；更重要的还是微积分所占的学分太重了，没有办法，只能好好学。对于二层次的微积分复习应该从下面三个方面着手：

第一，公式的背诵与记忆。至少对于二层次的微积分而言，她考的内容并不灵活，可以这么说，她考的内容几乎就没怎么变过，都是一个模子。对于这么一种侧重于应用，尤其是侧重于公式运用的考试，所需要做的第一步就是记下所有的公式以及其所适用的情境。可以将所有的公式集中在一张A4纸上面，多看几遍就全部记住了（至少去年我是这么做的，不过，这个确实蛮好用的）。

第二，高数课本的重新翻阅。我只说一句，说完你就知道为什么要翻高数课本了。“考完试后，你室友会告诉你有多少题目是在书上的”。不要问我为什么知道，微笑/微笑/微笑。

第三，刷题。这一点，我既想推荐给大家，又不想推荐给大家。二层次的高数考试通过上面两个步骤已经没有什么问题了，只要认真扎实的看书、记公式，我相信大家都可以考的不错。然而，对于追求精致完美的同学来说，或者说追求95+的同学来说，只是上面的两个步骤还是有点欠缺，刷题必不可少。给大家推荐一本书，去年我在图书馆发现的，名字应该叫《高等数学---- 题型方法》，一本蛮老的书，书页开始泛黄了，封面已经不见了。但是那本书上面有很多题目是原题，考试原题（亲测有效）。

讲到这里，大家肯定觉得就剩几天马上要期末考了这些都太笼统了吧。不方给大家讲述一些微积分的解题技巧，但是我很不专业，如果有写的不好的地方，大家请谅解。一． 计算题

1. 求极限

求解极限的第一个想法应该是“构造”，通过诸如“洛必达法则”、“等价”等手段构造出我们可以解决的问题。一般的手段都是通过洛必达法则最后构造出f(x)/g(x)=k（k为常数），如果遇到很难一次转换的情况，不要慌，多试几次，总会成功的。

求解极限的几个方法（仅供参考）：

1） 利用极限定义（使用较少）

2） 直接利用极限四则运算定理求极限

3） 先进行恒等变换（如消去公因子；分子分母同除最高次幂；分子分母同乘以共轭根式），再利用极限四则运算进行求解

4） 利用两个重要极限（或通过定理代换转换为两个重要极限形式后再求极限）



5） 利用等价无穷小进行求解

6） 利用洛必达法则（这个最好用也最实用）



7） 利用夹逼准则

8） 利用函数的连续性（在连续点处直接带入求出极限）

2. 求导数（求微分）

微分的求解过程与高中别无二致，重点在于记住公式，然后带入运用即可。下面列出一些考试解题时容易出现的问题。

1） 反函数的导数

已知x=g(y)，y=f(x)，若求解x关于y的导数不好求解，可尝试利用反函数的性质：f’(x) = 1/g’(y)

2） 复合函数求导

复合函数的求导在两阶的情况下与高中是一样的，但对于高阶的情况，同学们总是会迷惑为什么？

复合函数的求导奥妙其实就在于“替换”，比如对y=f(g(h(x)))进行求导，看到这个有的人第一眼就晕了。其实这个很简单，在对f求导的时候，将g(h(x))当作一个变量，不妨记作u；同理，在对g进行求导的时候，将h(x)当作变量v；最后对h(x)进行求导。最后将u替换成g(h(x))，v替换成h(x)即可。

3） 隐函数的求导

①若可导函数y=y（x）满足方程F(x,y)=0，则这个函数的导数可以从对方程F(x,y)=0直接对x求导得出，在这个过程中将y看作x的函数，最后解出y’，这种情况比较简单。

②对数求导法，对于某些函数（如幂指函数或多个因子相乘及多重根式），可以在两边取对数，使之成为隐函数，然后再按隐函数求导法求解导数（我记得周敏上课特别强调过很多遍这种方法，经验证明，考过很多次）

3. 求不定积分

貌似只能根据公式进行野蛮求解了！！！

第一类换元法和第二类换元法千万不要忘记，如果凑微分凑不出来，可以尝试变量替换；同时分部积分法也要记住，随时转换思路才能无往不利。

在这里提供一个小建议，考试时遇到三角函数不要忘记“万能替换 u=tan(x/2)”，剩下的祝好运。

4. 求解定积分（求解图形面积什么的）

定积分的求解是一个很令人无语的过程，我只能说对于求解定积分，首先回归不定积分，然后发现就这么解决了！！！

在这里我要提醒的是定积分的那些性质一定不能忘记，要全部记牢，不然等你用光了你的洪荒之力之后发现只要稍微运用定积分的性质就可以求解出来，我觉得你会哭的。特别是关于偶函数和奇函数的性质：





计算题部分就这么讲完了，着重点在于极限、微分、积分等内容，微分方程的内容本来也应该涉及，但是发现微分方程需要做的只是跟着书上的步骤走就可以了，所以也就不再赘述了，因为微分方程没有什么太好的简便方法，只要细心一点就好了。

二． 证明题

说实话，给大家讲证明题我有点虚…...

不过鉴于大一上的证明题内容不是很多，而且都是从一个模子里面出来的，我就给大家说一下注意事项就好了，还有一些思路吧。

期末考试的试卷的证明题基本都是围绕着“中值定理”进行出题，所以一定要记住那三个中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗日中值定理比较常用一点也更为重要一点，柯西中值定理更多的是其推广形式。

还有，那个“积分中值定理”也是出证明题的一个好东西，所以大家也不要忽视了。



PS:在我上文给大家推荐的那本书中，有很多类似的证明题，在考试中我碰到过原题。