临阵磨枪 尽破微积分大法

不论哪一届大一，微积分是一个永恒的话题。考虑到微积分期中考试临近，全媒体应广大16级少年的需求，特邀巨老赵（...

15级赵梓博学长第一学期微积分期中100，期末100，第二学期微积分期中100，期末大概是老师怕他骄傲勉强99的样子。15级张祎学长在其中做了一些打杂工作。

求极限

好吧，基本每年的第一个题都是求极限。你要知道老师一共就讲了这么几种方法，如果这道题一看就给人以会做的感觉，那就顺着自己的感觉做，如果一时间想不到什么思路，就试着从以下几个方面入手。

（1） 首先是洛必达，如果你发现出现了分子分母同时趋向于0或无穷的分式，请毫不犹豫地使出洛必达法则。有些时候会需要多次使用洛必达法则很麻烦，但是你要坚信，面对不好找思路的题目，洛必达总会给你答案。

还有，别忘了洛必达的其他适用型，如
、
这样的不定型，洛必达法则同样适用。还有当遇到
、
、
这样的不定型时，请将它们取对数化为或型来解决。

（2） 要会熟练应用两大重要极限：
，以及
;

但同时也要熟悉它们的变式，这样才能在考场上迅速获得思路。这些变式有：


，


，

注意区分：
与第一重要极限。

（3） 运用等价无穷小原理对分式的分子和分母做适当的替换，可以简化求极限的过程，具体参考书上例题。但要记住一点，运用等价无穷小原理只能替换完整的多项式，而不能只替换多项式中的某一项，这是必须注意的！求导数、求微分----->求导数

求导数和求微分的问题实质上都是求导数，求导基本贯穿于整套试卷，是很多题目的起步条件，将常见的求导法则熟记于心是最基本的前提，关于求导一般是一下几种情形：

（1） 形如
函数的导数：

解决方法是首先对等式两边同取对数，这样等式右边指数位的函数就会移下至因数位；然后再对等式两边同求导，右边是关于x的函数，左边则是
的形式，代入y，就能求出y对x的一阶导数y’。

（2） 求反函数的导数：

反函数求导法则
，有时你不会求反函数，但可以用此公式求出反函数的导数，别问我是怎么知道的。

（3） 隐函数求导：

很简单，方程两边同求导就可以了。隐函数求导有时还与求曲线的切线方程联系在一起，大家在遇到此类问题时，要想到求切线的斜率要通过隐函数求导实现。

（4） 含参数的函数求导：

有专门的求导公式，在书第65页。与间断点有关的问题

此类问题并不难，难度与书上的例题相当，主要考察的是大家对于定义的掌握程度。请熟记以下名词的定义并会举出例子：第一类间断点，第二类间断点，可去间断点。用
、
、
语言证明极限

说实话，这是我相对讨厌的一道题，但是它经常会出现，毕竟是微积分的老根基。

这里要注意的是严格按照老师讲的格式步骤来！难点表现在中间对于选择条件的构建，需要一些倒推、不等式放缩等小技巧在里面，不过一般情况下的考试题目用到的技巧都是课本上的或者老师讲过的。（即使做不出来也可也诌一个嘛，万一老师觉得看起来很有道理的样子呢~）

然后大家要明确这三种语言各自的定义，
用于数列极限的证明，而
、
则用于函数极限的证明。关于具体实践的话，建议大家一定要看透课本上的例题，学习例题中证明的思路和步骤，这对证明严谨性的培养很有帮助。不等式证明

我知道上过高中的诸位一看到不等式证明题就开始构建函数证明单调性了，这思路不坏，但我希望各位在学过中值定理以后，见到两个不等号的不等式证明问题，能想到用拉格朗日中值定理解决问题。

具体构建这样的
，使得在一定的范围内
，于是就有一组不等关系产生。

当这种方法不适用，大家再着手构建函数，有时候用常见不等式(基本不等式及变形，柯西不等式，其他我也忘了23333)放缩一下会简化很多，实在不行也可以坚定信念试着连续求导gang正面，该方法虽然略显拙劣，但却拥有极高的成功概率。求函数的泰勒、麦克劳林展式

讲道理，这个其实就是各种求导啊。可是如果没有记住公式的话那就尴尬了，and做题时要注意留好题目要求的阶数。求分段函数的导数

分段函数的导数也是由每一段的函数表达式求导得到，这一步很简单，但一定别忘了证明分界点处导数的存在。做这类题往往先分别求出每段函数的导数，然后利用导数存在定理“导数存在当且仅当左导数等于右导数”求出分界点处的导数，最后再写出完整的导函数表达式，分段函数的导函数往往也是一个分段函数。我们可以基于一阶导函数，依照上述做法，求出函数的更高阶导函数。证明数列有极限，并求极限

（1） 考察夹逼定理：

找到合适的
、
，使其满足
，且
a，则可求出Xn的极限a。

（2） 考察单调有界原理：

证明单调且有界，即可证明极限存在。证明的过程中往往需借助数学归纳法，没学过的同学请自觉抱学霸大腿补课2333。这时，等式直接取极限就能求出极限a。

至于具体选用哪种方法，要看题目明显的特征，如果Xn的表达式是一长串，就用第一种方法；如果题目给出的是
和
的关系等式，就用第二种方法。求不定积分

因为大家才刚开始学积分，所以暂时还领教不到积分的博(e)大(xin)精(ma)深(fan)，考试涉及的也仅仅是比较容易的题目。需要注意的是求函数的原函数和求不定积分是一回事，然后就是……

别忘写常数C！别忘写常数C！别忘写常数C！重要的事情说三遍。(考试的时候可以考虑买一瓶某饮料)

不定积分的求解策略有换元积分法和分部积分法两种，记住以上几点，记熟基本积分公式，具体大家能不能顺利做出来，就要看大家平时课本例题，作业对常见形式的积累和训练了。求函数的定义域，单调，凹凸，极值点，画草图……(你懂的)

每年总会有那么一道题，它的问题项超级多。这类题目其实性价比较低，推荐靠后做它，每一小问对前面都有一定的依赖性，容易出现连续崩盘的状况，所以从最开始的求导、范围划分一定要更加的细致。这种题的好处是题型比较死板，基本没有什么大的变化，每年似乎只是换一下函数这种，问题的设置不会超过课本112页3.6.2中的内容（原句出自敏女神）。构建函数问题

可能会出现这样一类比较抽象的函数证明问题，需要构建函数来解决，如下图：



显然可以构建
，因为
，所以由零点存在定理，一定存在0和1之间的点满足函数g(x)值为0，等式得证。

这类问题有很多变式，没办法一一列举清楚，但本质上其实都是进行了一定的换元伪装，需要一些观察能力在里面，能不能观察出来就得看大家的造化了。



说了这么多，最重要的还是要翻课本，无需多做别的，只要把课本上的例题和老师的作业全部理解、消化了，对于期中拿一个好成绩来说，已然足够。（真实的故事）

总结就到这里为止。现在才明白一个道理，没有永远留在脑子里的知识，曾经意气风发，终于也沦为了一个翻了大半天书才总结出这点东西的渣渣。不禁又想起那句话，“你在大学学到的，是忘记所有在大学学到的知识后，还剩下的”，大学四年究竟能学到什么？我想，这是我们每个人都必须思考的问题。

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