【华询微课堂】2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分_【华询教育】

小编北京大学生命科学冬令营是面向广大高中生，目的选拔和培养热爱生命科学，未来投入生命科学事业的拔尖创新人才，...

小编

北京大学生命科学冬令营是面向广大高中生，目的选拔和培养热爱生命科学，未来投入生命科学事业的拔尖创新人才，选拔对象一般来说有以下条件：

1.进入全国中学生学科奥林匹克竞赛省代表队（含数学、物理、化学、生物），且极其热带生命科学的学生。

2.高中阶段获得两项以上不同学科（含两项）全国中学生学科奥林匹克竞赛省级一等奖（含数学、物理、化学、生物、信息），且极其热带生命科学的学生。

流程：首先是初审，接下来是测试，分为笔试和面试，最后是选拔，经过前面的笔试面试等活动表现进行综合评定，优秀营员被推荐北京大学招生办，有机会进入自主招生入选资格。

今天分享一份2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分，让同学们对自己的数学能力做一份测评。

注意：所有题目均为单项选择题，共
小题．

1．已知函数
是连续的偶函数，且当
时
是严格单调函数，则满足
的所有
之和是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．设集合
，
，则
与
的关系是（　　）

A．
是
在有理数集中的补集

B．
是
的真子集

C．
是
的真子集

D．以上均不对

3．方程
的两个实根中一个大于
，另一个小于
，则
的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．设实数
均不为
，且满足
，则
的值是（　　）

A．

B．

C．

D．以上均不对

5．设
，则
（　　）

A．

B．

C．

D．

6．设一个圆锥的底面积为
，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．设
，且对任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．以上均不对

8．设
，
，
，若
是
的必要而不充分条件，则
的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．设
，把复数
在复平面上对应的向量按顺时针旋转
后得到的复数为
，那么
（　　）

A．

B．

C．

D．

10．函数
的最大值与最小值的和是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．设
为任意正整数，函数
的取值也是正整数，且满足
，
，
，则
（　　）

A．

B．

C．

D．

12．设有命题
，其中
是
的充分条件，
是
的充要条件，
是
的充分条件，
是
的必要条件，则
是
的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13．设直角梯形的高为
，其两条对角线交点为
，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点
和
，则
到
和
这两点的距离之和为（　　）

A．

B．

C．

D．以上均不对

14．一种正十二面体的骰子，
个表面分别写有
到
的
个数字，则扔一对这样的骰子，可能出现的结果种数是（　　）

A．

B．

C．

D．

15．设实数
，且
，则
与
的大小关系是（　　）

A．

B．

C．

D．以上都有可能

16．设角
，则
的值为（　　）

A．

B．

C．

D．以上均不对

17．已知
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．不存在这样的

18．已知
，且
，则
具有（　　）

A．最大值

B．最小值

C．取不到最大或最小值

D．以上均不对

19．设实数
满足
且
，则
之间的大小关系是（　　）

A．

B．

C．

D．不能比较大小

20．设三角形
的中线
与
相交于点
，若
四点共圆，则
的值是（　　）

A．

B．

C．

D．不能确定

参考答案与解析

1．D．

根据题意，有

或

，即

，或

，于是题中方程的所有解之和为

．

2．B．

注　此题来源于2002年全国卷的第5题：

设集合

，

，则（　　）

A．

B．

C．

D．

3．A．

设

，则问题等价于

，解得

．

4．D．

设

，则

若

，则有

，于是

，所求代数式的值为

；
若

，则根据合分比定理，有

此时

，所求代数式的值为

．

5．C．

显然原式等于

，而

，于是

．

6．B．

设圆锥的底面半径为

，母线长为

，则有

从而此圆锥的侧面积为

7．A．

令

．

情形一　若

，则

故此时

．

情形二　若

，则

，此时原问题等价于

解得

．

综上所述，实数

的取值范围是

．

8．D．

由题意知

是

的充分不必要条件．

，设

，则

，

且

和

不同时为

，解得

．

9．A．

由题意，设

，则

，

的终边与

的终边重合，所以

10．B．

方法一　根据题意，当

时，有

；当

时，有

于是

的最大值为

，最小值为

．

方法二　设

，则有

进而

于是

的最大值为

，最小值为

．

11．C．

由题意，

12．B．

注意

是

的充分条件，于是有

．

13．B．

方法一
如图，直角梯形

中，

，

．

分别为线段

的中点，对角线

与

交于点

．以

为直径的圆与线段

交于

两点，与线段

交于

两点，连接

．延长

，交圆于点

，连接

．设直线

与

交于点

，直线

与

交于点

，作

于

．
易知，

三点共线．因为

故直线

交于一点

，而

是

的垂心，所以

因而

，进而有

．因为

所以方法二
如图，直角梯形中，，，．分别为线段的中点，对角线与交于点．以为直径的圆与线段交于两点，与线段交于两点，连接．延长，交圆于点，连接．连接与．%设直线与交于点，直线与交于点，作于．因为而所以又因为，，所以同理，故，进而有，．又因为，所以
注　若设点是以点为焦点，直线为准线的双曲线上的两点，则此题相当于证明了双曲线的一条性质：若以双曲线的一条焦点弦为直径的圆与对应准线相交于两点，则焦点到两个交点的距离之和等于焦点弦在准线上的投影长．抛物线也有类似的性质．

14．D．