第二十一期沙龙总结 之二 诗情画意的数学

主讲人董老师说，这次的圆桌分享比她博士答辩还紧张。这次是【第二次】推送，【仅仅】讲了阿基米德、牛顿、笛卡尔三位“魔术师”。小心慎入。...

”

推荐书籍

《数学沉思录——古今数学思想的发展与演变》

作者：Mario Livio (数学史家，天体物理学家)

内容介绍：在这本书里，他以一种非常宽广的历史视角，从数学与逻辑（人类思维）的联系等不同角度，深入研究了数学的本质、数学本身的发展、数学与哲学的关系。

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1. 数学的故事 （The Story of Maths）

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3. 大数据时代（The Age of Big Data）数学的四位魔法师——对后世影响最大的数学家

“魔法师”这个词，指那些发现了过去从未被思考过的数学和自然之间联系的人，那些能够观察复杂的自然现象并从中提炼抽象出如水晶般晶莹剔透、简单易懂的数学规律的人。如果没有他们，也许数学在解释自然时的“无理由的有效性”这类问题永远不会被发现，而这个谜直接出自那些研究者们神奇的洞察力。

3.1 “给我一个支点，我将撬起地球”——阿基米德

1. 简介

阿基米德（公元前287—前212，出生于锡拉库扎，后来移居希腊西西里岛）最为人所称道的是他在机械制造方面的天才和那些匪夷所思的发明，但是实际上，阿基米德首先是一位数学家，他在数学领域的成就至少领先同时代的人一个世纪。

故事1：阿基米德机械上的成就。

发明抵抗罗马入侵锡拉库扎城时锡拉库扎人所使用的守城器械

罗马史学家普鲁塔克：“从城墙上还伸出了一些非常粗大的长杆，它们伸出墙头的一端被高高举起，然后迅速地下落，只要挨上一下这股巨大的力量，海面上罗马人的战船就被击沉了。另外一些长杆顶端则装有铁抓或像鹤嘴一样的吊肩，它们伸到战船上方，抓住战船的甲板，把它整个按入海里。”

传说：阿基米德还把许多镜子集中起来，用这些镜子聚焦后的太阳光照射罗马战船，最终把罗马人的战船给点燃了

故事2：阿基米德之死（潜心研究数学）

当罗马人最终攻占锡拉库扎城时，阿基米德正全神贯注地在一个布满灰尘的盘子上画几何图案，根本没有注意到战争的喧嚣。根据后来的记载，当一名罗马士兵命令阿基米德站起来跟他去见他们的统帅马塞卢斯时，这位老人有点不耐烦地回嘴道：“老兄，离我的几何图案远点儿！”这个回答激怒了这名士兵，愤怒战胜了理智，他完全忘记了指挥官下达给他的特别命令（要把阿基米德安全地带回去）。他抽出了自己的佩剑，向这位历史上最伟大的数学家砍去。

英国数学家、哲学家怀特黑德评论“阿基米德死于一个普通的罗马士兵之手，这标志着一个最重大的世界变革。罗马人虽然强大，但他们却为实用主义所累，缺乏创造性思维，他们没有足够的想象力得出全新的观点，而这原本能给予他们更多控制自然的基本力量。没有一位罗马人会因为全神贯注于数学图形的沉思而失去生命。”

2. 阿基米德的的成就

数学上：

1) 给出了一种通用的数学计算方法，来计算各种平面图形的面积，如圆的面积，还有螺旋和抛物线的弦，以及由多种曲面形成的封闭空间的体积（指圆柱、圆锥，和其他一些诸如抛物线、椭圆、双曲线等曲线旋转后围成的图形）。

2) 计算出了数字π的值，它是指圆周长与直径的比。

3) 在阿基米德的时代，没有一种方法能清楚并直观地表示非常大的数字，为此，阿基米德发明了一种计数系统，不仅能记录任意大的数，还可以操作任意大的数。

故事3：阿基米德式并不认为地球沙粒的数量是无穷的，他利用下面的方式计算了世界上所有沙粒的数量值。首先，估算了如果把沙子一粒紧挨一粒地排列起来，覆盖一颗罂粟种子需要沙粒的数量；接下来，又估算了需要有多少粒罂粟种子才能摆满一根手指宽度，以及一个体育场的一边（大约600英尺）大概需要用多少根手指才能排满；之后，他又计算了如果要想排满一百亿个体育场，所需要的手指宽度数量。通过这种计量方式，阿基米德建立了一种指数体系和概念系统，把它们结合在一起后，就能分类表示那些极其巨大的数字了。根据阿基米德的估计，天空中恒星的数量，至多是从地球上看上去围绕太阳运动的星星数量的一千万倍，由此他计算出如果整个宇宙填满沙子，其沙粒数量大约是1063

物理学上，

1) 发现了浮力定律，从此流体静力学诞生了。故事4：公元前1世纪罗马建筑学家维特鲁维奥（Vitruvius）讲述——国王希耶罗二世想确切地知道他的王冠是不是真是由纯金所打造的。工匠们把制作好的王冠交给国王本人时，王冠重量与最初给他们的金子的重量是完全一致的，尽管如此，国王仍然怀疑有一部分金子被工匠给偷偷换成了同等重量的银子，但是国王想不出有什么办法能在不破坏王冠的情况下证实他的怀疑。他想到了数学大师阿基米德，于是向他请教。阿基米德在接受国王的委托后，冥思苦想了好几天仍然没有想出解决方法。直到有一天，阿基米德去洗澡时，他的脑子里仍然不停地思考这个问题，想着如何才能揭开工匠在王冠上所做的手脚。当他的身体浸入水中后，浴缸中多余的水从缸边缘漫了出来，阿基米德突然意识到，正是他的身体代替了浴缸中原来的一部分水，这马上激发了他解决这个问题的灵感。阿基米德兴奋得不能自已，甚至于忘了自己正在洗澡。他马上从浴缸里跳了出来，光着身子冲到了大街上，嘴里大喊着：“尤里卡，尤里卡！”（我找到了，我找到了！）

2) 计算了许多固体重心的位置，并以数学公式表达了杠杆原理。

故事5：“给我一个支点，我将撬起地球。”的来历

罗马史学家普鲁塔克的记载，国王希耶罗二世曾要求阿基米德用很小的力量拖动一个非常重的物体，他想用这个问题让阿基米德证明他的天才和智慧。事实上，阿基米德的确办到了，他利用一组滑轮，把一艘载满货物的货船拖入了大海。

天文学上：他通过观察确定了一年的时间，计算了行星间的距离。

3. 阿基米德方法的三个方面奠定 “魔法师”地位的成就。

1）从本质上讲，是阿基米德把思想实验引入到了严谨的科学研究之中。

在物理学中，思想实验有很高的地位和价值，思想实验可以用在真实实验之前，让我们能事先了解实验过程。或者在某些情况下，由于缺乏必要条件，真实实验根本没有可能在现实中进行，此时思想实验就有了用武之地，它可以帮助我们理解实验内容。

2）阿基米德把数学从欧几里得和柏拉图等人所打造的人造链条上拆了下来，让它获得了自由。

对于欧几里得和柏拉图来说，有一种方式，也仅有这一种方式，可以完成数学工作：你必须从公理出发，利用指定的工具，沿着固定不变的逻辑步骤顺序进行证明。阿基米德使用他所能想到的所有方法和证据，提出新问题，并根据自己的思考将它们解决。他探索和发展抽象的数学公式、概念（柏拉图的世界）和物理现实（真实的物体）之间的联系，并在这个过程中不断发展他的数学理论。

3）预测了微积分

微积分是数学的一个分支，是由牛顿在17世纪末（几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨经过独立研究后也提出了该理论）正式建立和发展起来的。

积分思想：如果你想要计算椭圆上的一段弧与这段弧的两个端点之间的直线所围成图形的面积。你可以把这个图形分解成许多宽度相等的长方形，当把这些长方形的面积相加之后，就得到了所求面积。当被分解的长方形数量逼近无限的时候，把这些长方形的面积加起来就得到了你想要计算图形的实际面积。阿基米德所发现的这个极限就称为积分。利用我在上面描述的方法，阿基米德计算了球面、圆锥面、椭圆面和抛物面的面积和由它们形成的实体的体积（把椭圆或抛物面绕它们的轴旋转后得到的）。

微分一个主要的目标：计算曲线上给定一点的切线的斜率。阿基米德给出了一种特殊螺旋的切线斜率计算方法，对微分更进一步的研究是由牛顿和莱布尼茨完成的。

4. 阿基米德认为的数学本质：

阿基米德改变了数学世界，也从根本上改变了人们对数学与宇宙之间的关系的认识。通过展示数学理论与实践之间令人震惊的紧密联系，阿基米德第一次提出了以观察和实验为基础，而不是靠神秘的臆想来解释自然界中似乎利用数学设计过的各种现象。正是由于阿基米德的努力，人类才孕育出了“数学是宇宙的语言”，以及“上帝是数学家”的思想和认识。

当然，也有一些是阿基米德没有做到的。例如，阿基米德从来没有讨论过，如果把他所建立的数学模型应用于实际物理环境中时，可能会存在哪些限制。举个例子来说，在阿基米德关于杠杆原理的理论探讨中，他就没有考虑过杠杆自身的重量，并且还假设他所研究的杠杆硬度是无穷大的。阿基米德的数学模型也许仅仅能代表人类所观察到的，而不能描述现实存在的物理世界。

3.1 星际信使（The Sidereal Messgae，1610年3月出版的一本著作）——伽利略

1. 简介

伽利略·伽利雷，1564年生于比萨市出生，十分喜爱数学，敬仰阿基米德。

2. 伽利略的成就（列举）

伽利略知道有凸透镜和凹透镜组成的望远镜能被造出来后，很快就研究出望远镜的工作原理是什么以及它是怎么制造出来的，还在不断地改进它，最终他把自己最初发明的放大倍数大约为8倍的望远镜，提升到了放大倍数大约为30倍，这本身就需要有相当高超的工程技巧。但是，伽利略真正的伟大之处，不仅仅是他在实践中知道怎么改进这具望远镜，而在于他利用自己所发明的这个增强视力的密闭管来干什么（伽利略称之为perspicillum）。伽利略制造和改进望远镜的目的，不是观察威尼斯港口外的轮船，也不是检查帕多瓦城市建筑的屋顶，实际上，他把望远镜对向了天空。伽利略利用自己制造的望远镜观察取得了许多令世人震惊的成果。

 

成果1：关于月亮

发现月亮的表面十分粗糙，上面有山脉，有巨坑，也有广阔的平原。利用几何学知识计算了其中一座山峰的高度，根据他的计算，这座山峰至少有四英里高。这还不算完，伽利略观察到月亮黑暗的那部分（当月亮处于新月状态时）并不是完全黑暗，也能被微弱的光给照亮。从这个现象分析，他认为这是由于地球能反射太阳光。

成果2：关于木星

伽利略发现木星具有4颗卫星。

故事：由于担心可能会有其他人也发现了木星的卫星，伽利略仓促地于1610年春天在威尼斯出版了他那本著名的学术专著《星际信使》（Sidereus Nuncius）。发现木星卫星的重要性，怎么强调都不过分。不仅因为这是自古希腊人观察太阳系以来第一次新发现的4颗天体，而且仅仅只是这4颗星星的存在就足以回击对哥白尼主义最严重的指控了。亚里士多德学派坚持认为地球不可能围绕太阳旋转，因为地球已经有月球在它的轨道上运行了，宇宙中怎么可能有两个不同的轴心呢？伽利略的发现明白无误地表明，行星可以有自己的卫星环绕它运行，并且行星本身同时也在围绕太阳旋转。

成果3:关于太阳

在亚里士多德学派的世界观里，太阳被认为是非现实世界中完美的代表，并且永恒不灭。伽利略发现太阳有瑕疵，并且在自转过程中还会不断出现黑斑，这些黑斑过后又消失了。经过仔细观察，伽利略绘制了太阳黑子图像。

成果4：关于宇宙

首次对太阳系以外的天体的进行观测，提出银河系的概念。

3. 伽利略认为的数学本质：

伽利略在科学思想上的革命可以提炼为一项本质原则：数学是科学的基本原理，数学是宇宙（PS：物理宇宙）唯一的语言。从这个角度上讲，他坚信上帝就是一位数学家！

伽利略对数学作用的理解。

第一， 我们要认识到对伽利略来说，数学最终就是几何。他对绝对数字的计算基本不感兴趣。他主要用数量比例和相关的表达来描述自然现象。伽利略是阿基米德真正的信徒，他所使用方法的基本原则就是广泛而有效地运用几何。

第二， 他对几何和逻辑作了严格区分，这一点在伽利略的最后一本著作中集中进行了阐述，这本书就是著名的《关于两门新科学的对话和数学证明》，他相信几何是发现新真理的工具。而逻辑，在他看来是一种方法，通过这种方法对已有的发现可以进行评估和评论。（第7章介绍另外一种观点，即认为数学完全来自于逻辑。）

3.2 “我思，故我在”——笛卡尔

1. 简介

笛卡儿于1596年3月31日出生于法国海牙，为了纪念这位著名的数学家，这座小镇在1801年被改名为海牙笛卡儿，自从1967年之后，人们更是习惯于把它称为笛卡儿镇。笛卡儿广泛涉猎哲学、光学、数学、力学、医学、胚胎学、形而上哲学，并且在这些学科中都取得了对后世很有影响力的成就。他将人类所有的知识、科学成就，甚至是人类社会伦理统一为一个整体。他是很多人眼中当之无愧排名第一的哲学家，也是第一位真正意义上的生物学家。

故事：笛卡尔之死。

笛卡尔小时后身体不好，不用早起上课，他不必每天早晨5点就起床，可以在床上度过整个早晨的时光。后来，每天利用清晨的时间进行思考的习惯伴随了他一生。他有一次对他的朋友法国数学家布勒斯·帕斯卡（Blaise Pascal）讲道，对他来说保持身体健康和取得丰硕成果的秘诀就是每天睡觉睡到自然醒。笛卡尔成名后，被邀请访问瑞典，为瑞典女王克里斯蒂娜（Christina，1626—1689）教授哲学。那位有具有钢铁般意志的23岁瑞典女王坚持要求笛卡儿在早晨5点这个极不适宜的时间给她上课。在北欧这片土地上，清晨实在是太过于寒冷了，在勇敢地面对瑞典几个月严酷寒冬的黑暗早晨之后（对于笛卡儿来说这样的清早是他一生都在努力回避的），他最终患上了急性肺炎。在1650年2月11日清早，就好像试图避开再次被闹钟叫醒一样，4点钟，笛卡儿去世了，享年53岁。这位开辟了现代文明的人，成为了他自己的庸俗势利和一位年轻女王任性的牺牲品。

2. 笛卡尔认为的数学本质

笛卡尔认为：不仅物理宇宙是用数学语言写就的（伽利略的观点），而且人类所有的知识都遵循数学的逻辑。用笛卡儿的话说：“数学方法是最强有力的知识工具，比上帝赠予我们的任何其他工具都有效，它是万物的根源。”他提倡人类在思维过程中应当过滤掉眼睛所能看到的（即感性认识），而将目光转向深入的思考（即理性认识）。

笛卡尔敢于质疑在他之前的所有哲学和科学中的结论，他认识到数学的方法和推理步骤能精确地得出某种必然结论，而这正是在他之前的经院派哲学所缺乏的。这些在笛卡儿脑海里不断涌现的疑问最终促使他提出了他最著名的名言：“我思，故我在。”他认为，怀疑这种行为本身却不能被质疑。

尽管笛卡儿坚持人类理性思考的能力，他却不相信仅凭逻辑就能揭示真理。在这一点上，笛卡儿得出了在本质上与伽利略相同的结论：“就逻辑而言，它的三段论（亚里士多德的三段论）以及其他大部分认识，在我们已知的领域内是很有效的，但是在探索未知领域时却不见得同样有效。”

3.最重要的成就——解析几何

曼哈顿问题——一个非常简单但却闪耀着夺目光芒的数学思想，被称为是“有史以来精确科学最重大的一次进步”

问题：

如果你站在34大街和第八大道的拐角处，而你想要找的人站在59大街和第五大道的交汇处，你肯定会找到他。

笛卡尔提出，用一对平面上的数字可以清晰无误地确定一个点的位置。之后，笛卡儿利用这一事实发展出了一门非常有用的理论——解析几何。为了纪念笛卡儿，这种利用两条相交直线提供的参考系被命名为笛卡儿坐标系。传统上，我们把水平线标记为“x轴”，把垂直线标记为“y轴”，这两条线相交的点被称为“原点”。从而，我们可以用等式x2＋y2＝52精确地、并且也是唯一地表示这个圆。换句话说，笛卡儿发现了一种能用代数等式或数字方式表现几何中曲线的方法，而且反之亦然。

事实上，今天我们所有能见得到的曲线图，包括股票市场每周的波动图、过去几个世纪以来北极的气温变化图，或者宇宙的比例图，全部都是来自于笛卡儿这个天才的思想。从此以后，突然之间代数和几何不再是两门独立的数学分支了，并且它们还表达了相同的真理。

3.3 牛顿

1. 简介

牛顿出生的那一年与伽利略离开人世是同一年，这是历史的巧合吗？

2. 牛顿的成就

18世纪著名的英国诗人亚历山大·蒲柏（Alexander Pope，1688—1744）概况牛顿的成就

“自然和自然规律隐藏在黑暗中，上帝说，让牛顿去吧！之后所有角落都被照亮了。”

牛顿，用数学公式系统地阐述了力学基础原理，破译了行星运动的规律，为解释光和色彩现象的本质建立了理论基础，并且开创了对微积分的研究。正是他在引力理论方面所做的工作，把他推向了魔法师讲台的最高处——那里是为人类最伟大的科学家所保留的位置。

牛顿第一次把对自然现象的解释和对观察结论的预测这两种力量统一起来了，从此以后，物理学和数学就永远交织在一起了，而科学与哲学的分离也成为了必然。

 

3. 不朽的名著《自然哲学的数学原理》（The MathematicalPrinciples of Natural Philosophy）

牛顿吸收了笛卡儿的宇宙能用数学描述的思想，并通过他自己的工作把这一思想变成了现实。牛顿把他的书名定为《数学原理》，正好和笛卡儿的名著《哲学原理》相对，貌似显示了牛顿对笛卡儿著作怀疑式的暗讽

《自然哲学之数学原理》中全部的论述都以命题形式给出，每一个命题都给出证明或求解，所有的求证求解都是完全数学化的，必要时附加推论，而每一个推论又都有证明或求解。只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时，他才加上一个附注，对问题加以解释或进一步推广。全书贯穿了牛顿和莱布尼兹分别独立发明的数学方法——微积分，不过牛顿称其为“流数”，这是牛顿的成就之一。它在科学史上占有非常重要的地位，因它标志着经典力学体系的建立。

《原理》提出了经典力学的三个基本定律和万有引力定律

第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到其它物体的作用力迫使它改变这种状态为止。

第二定律：物体在受到合外力的作用会产生加速度，加速度的方向和合外力的方向相同，加速度的大小正比于合外力的大小与物体的惯性质量成反比。

第三定律，两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反

根据第三定律，万有引力：如果太阳对地球有某种拉力，那么地球也在用同样的力量拉着太阳。这就是说，不是地球简单地围绕太阳在轨道上运行，而是它们都围绕共有的引力中心旋转。但这并不是问题的全部，在太阳吸引行星的同时，所有其他的行星同时也在吸引着太阳，而且事实上每颗行星所受的吸引力不仅仅来自太阳，也来自其他行星。类似的逻辑也适用于木星和它的卫星，适用于地球和月亮，甚至适用于苹果和地球。

万有引力定律：两个球之物质相互间有重量，即相互间有吸引力，假如此物质在其距中心相等处为均匀的，则其一球对于其他球之重量即二者之间的吸引力，与二中心间距离之平方成反比。

故事：引力理论如何提出的？

牛顿系统阐述宇宙的引力规律，绝对不是仅仅源自于一个从树上掉下来的苹果。这是需要长期思考和探索才能发现它。

牛顿年轻欧几里得的那本非常有影响力的著作《几何原本》觉得这些命题太容易理解了。而笛卡儿的《几何》是对牛顿的数学和科学思考影响最大的一本书，他反复读了好几遍，直到“完全掌握了这本书”。而且不仅是笛卡尔的解析几何、函数、切线和曲线方面的探索，为牛顿创建微积分铺平了道路，而且牛顿那内在的、固有的科学精神被真正地点燃了，闪烁着耀眼的光芒。过去使用直尺和圆规进行单调乏味的作图以解答几何问题的时代一去不复返了，取而代之的是用数学表达式代表任意曲线。

然而1665年至1666年，伦敦爆发了瘟疫，每周死亡人数高达数千，剑桥大学被迫关闭，牛顿也不得不离开学校回到他位于乌尔索普（Woolsthorpe）山谷的家乡。在那个偏僻、安静的小山村里，牛顿第一次证明，能让月亮绕地球运行的力量和地球的重力（正是这种力量使得苹果从树上掉了下来）事实上是同一种力量。

4. 牛顿和笛卡儿认为的数学本质

牛顿和笛卡儿都是虔诚的基督教徒，牛顿和笛卡儿的数学本质——人类只能发现数学而不能发明数学，上帝是数学家。

牛顿看来，世界的真实存在和人类观察发现的宇宙表现出的数学规律性都是上帝存在的证据。

笛卡儿认为上帝创造了所有“永恒的真理”。特别是，他声称“所有你认为永恒的数学真理事实上已经被上帝制定好了，并且同他其他的创造一样完全依靠他。”因此，笛卡儿的上帝不仅是一位数学家，在某种意义上他还是数学世界和物理世界的创造者。

3.4 总结

伽利略、笛卡儿、牛顿的著作从根本上改变了数学和科学两者之间的关系。首先，科学上爆炸式的、大量涌现的新发明为数学研究提供了强劲动力。其次，通过牛顿的定律，甚至是最抽象的数学领域，例如微积分，也成为了物理解释的本质要素。最后，也许是最重要的一点，数学开始脱离哲学，数学和科学之间的界线完全改变了原有的形态，它变得模糊了，数学分析和科学广阔探索几乎完全融合在了一起。

所有这些发展都极大地激发了数学家的热情，这大约是古希腊时代以来从未有过的。数学家感到世界在那里等待被征服，并且有无数可能的新发现。

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