数学思想：欧几里得vs阿基米德

古希腊两个重要的数学哲学家欧几里得与阿基米德...



节选自《欧几里得与阿基米德数学思想之比较》

欧几里得：数学是逻辑的

埃及的亚历山大成，是地中海南岸的重要海港，经过托勒密王苦心经营，逐渐成为了新的希腊文化的渊薮，希腊本土这时已经退居次要地位。欧几里得（Euclid，约公元前330-275年）就生活在这个时代。欧几里得一生的细节仍然鲜为人知。欧几里得早期在雅典接受教育，他博览群书，汲取了前人积累起来的大量几何知识，终于成为一名几何大家，成名之后，受托勒密王邀请，来到亚历山大教学。

欧几里得是为温良敦厚的教育家，也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利的作风。尽管欧几里得简化了他的几何学，托勒密王还是不理解，希望能找一条学习几何的捷径。欧几里得说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传送的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处？他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获得实利。”

欧几里得的重大功绩是编写了《几何原本》。从公元前7世纪到公元前4世纪，古希腊数学，特别是几何学获得了充分的发展，积累了丰富的材料。如何把这些材料整理成“逻辑严密”的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务，欧几里得的《几何原本》就是在这个时候成书的。

欧几里得总结了前人的经验和教训，巧妙的把亚里士多得的“逻辑学”和数学结合起来，精细地选择命题和公理，合理地安排知识的顺序，使之能从很少的几个原始命题（即公理）开始逻辑地展开。于是，人类历史上的第一部数学理论著作诞生了，一个公理化的逻辑体系出现了。这是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。欧几里得的影响是如此深远，以至于欧几里得和几何学成了同义语。

阿基米德：数学是直觉的

阿基米德出生于叙拉古王国的一个贵族家庭。阿基米德的童年正值古希腊思想文化活跃时期，阿基米德的父亲是一位物理学家和天文学家，所以他受到良好的启蒙教育，从小就富于想象、善于思考，对科技知识有着浓厚的兴趣。公元前276年，年仅11岁的阿基米德南下地中海，历尽艰辛，来到了梦寐以求的圣地亚历山大，开始了求学生涯。阿基米德师从于欧几里得弟子卡农。在老师的指点下，阿基米德如饥似渴地学习，阅读了大量数学、物理、天文等自然科学书籍，为日后的科学研究打下了扎实的理论功底。阿基米德很好地掌握了前辈严谨、精确的理论和方法，而且还善于结合实际，独辟蹊径，努力使研究成果付诸实施。阿基米德以极高的严格性和技巧性，解决了一大批在当时很难解决的数学问题，而这些问题的一般解法直到17世纪才由牛顿和莱布尼茨等人用微积分方法给出。数学史认为，阿基米德的数学思想远超过了他的同时代人，阿基米德早已有微积分思想的雏形，而且，阿基米德的严格性和技巧性比微积分的创始人牛顿和莱布尼茨高明得多。

阿基米德善于结合物理学原理解决数学问题，他用杠杆原理求抛物线弓形的面积就是一个很好的范例。这启示我们，物理世界能为我们提供生动的数学模型，在这些模型中，复杂的数学过程常常是自动完成的，要善于利用这些模型，巧妙的物理论证，直接发现数学结论。阿基米德把物理论证作为发现数学结论的方法是很成功的。但是，阿基米德从未满足于物理论证，他总是紧接着寻求更严格的数学论证方法。阿基米德用杠杆原理得到抛物线弓形面积后，又成功地用穷竭原理做出了更严格的几何证明。由此不难理解，为什么17世纪的数学家在创建微积分时，常常把阿基米德作为数学论证的榜样。

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