孟道骥：代数之管见

代数学是什么?“玄之又玄”：抽象性是代数学的重要特点；“众妙之门”：联系的广泛性；浪漫性是代数的艺术特征…...



孟道骥(1938—) 师从北京大学数学力学系段学复院士和聂灵沼教授，南开大学教授、博士生导师、国家科学技术奖评审专家(2007年)、享受国务院政府特殊津贴。主要从事李代数、李群研究。

因为科研、教学的原因，这些年我和代数的接触比起和数学的其他方面的接触更多一些。当然喜欢听歌的人未必会唱歌，会唱歌的人未必会谱曲，会谱曲的人未必是音乐大师。虽然和代数接触多，但并没有学好代数。毕竟接触多了，自然或多或少有一些粗浅的体会，也就是有些管见。以管窥豹，可见一斑。代数的斑，自然也是数学的斑。代数不能孤立于数学而存在，所以我们自然会涉及代数之外的数学。反正将这些粗浅之见说出来供大家批判。

从词典上查，代数就是“用字母代表数来研究数的运算性质和规律……”。这种回答是不能令人满意的。

学了几十年的代数，真要回答什么是代数学，却回答不出来。这与要回答什么是数学一样是一个困难的问题。

其实，数学包括代数学是在不断发展的，因而过去的人也就是古人不可能来规定今天的数学、代数学。同样现在的人无法规定将来的数学、将来的代数学。数学、代数学都是发展着的概念。正如《道德经》所说“道可道，非常道”。

因而要从代数学的发展史来认识代数学，从她的发展史、她的现状来展望她的将来。几千年的数学发展史读起来何等费时费力！其实只要回顾我们学习数学的历程就可以基本把握数学思想的发展史。当今的数学教学实际上是数学发展过程的浓缩。犹如一种生物胚胎的发育过程是这类生物进化过程的浓缩。

中小学我们学习的代数是所谓初等代数。

初等代数学是研究数和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法。其主要研究对象是多项式方程和多项式方程组的解。其研究方法是高度计算性的。

高次方程的根式解表面上看是初等代数的课题，但是这是用初等代数解决不了的课题。这是代数学的巨大危机。克服这个危机促成了抽象代数的产生。群、环、域、模等各种各样的代数，让人眼花缭乱，目不暇接。但是所有这些都有一个共同点。

这个共同点就是由各种代数结构的公理出发，研究它们的性质，就是所谓抽象代数。抽象代数研究的对象是非特定的任意元素集合和定义在这些元素间的，满足若干条件或公理的代数运算，也就是说它以各种代数结构（或系统）的性质的研究为中心问题。公理化是抽象代数的主要研究方法。

看了这些数学，无怪乎罗素说：“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么……只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”

话虽如此，但美国科学院调查委员会却作出这样的结论：“高科技本质上是数学技术。”最初，代数的意思是用字母代表数来进行运算，建立方程，解方程等。为解决高次方程的根式解的问题，考虑根之间的置换。这些置换是一些操作而不是数。又如解（线性）方程组的消元法，实际上是现在称为初等变换的一些操作。古人不会把操作进行运算的。但是现在可以把这些操作以群元素的形式，矩阵的形式进行运算。所以可以运算的对象不仅仅是数了，自然字母也不仅仅代表数了。去掉这些对象的特殊性，而只考虑它们的运算满足的共同性质，将其抽象为公理，就构成了一种代数结构。因而公理化的方法就决定了代数学的抽象性。

抽象当然是有根据的抽象。比如，“等价”的概念是代数中很常用的概念。其实“等价”是“分类”的抽象。而分类的思想更早于数数和计算。小孩先会将气球按颜色分类，再会数有多少个气球，然后才会计算5个气球加3个气球是8个气球。一个集合中的一个关系称为等价关系是指这个关系满足自反性、对称性和传递性。将彼此等价的元素放在一起就得到这个集合中元素的分类。反过来，有一个分类就可以建立一个等价关系。其实等价关系是很多的。三角形的全等、相似；矩阵的相抵、相似、相合（合同）等都是等价关系。在把同类型的代数结构进行比较时，等价或分类的思想起了重要的作用。

将等价和运算结合在一起就有了“同余”的概念。同余最早出现在整数的带余除法，后来在多项式的带余除法中。将这种原始的同余关系，稍加改造，用减法的形式来表达。整数m₁，m₂被非零整数n除的余数相同（称m₁，m₂模n同余，记为m₁≡m₂（modn）），也就是m₁－m₂可被n整除，也就是这里“除”的影子几乎没有了。

设W是线性空间V的子空间，α，β∈V。如果α－β∈W，称α，β模W同余，记为α≡β（modW）。这里完全没有“除”了。

现在同余的概念比比皆是。中国数学中关于同余式的研究成果至今仍被广泛引用，称为“中国剩余定理”。美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”那么什么成果使秦九韶得到如此高的评价呢?古代《孙子算经》中曾记载“物不知数”问题：有一数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问此数为何?秦九韶将这一类问题的解法推广成一次同余式组的一般解法，给出了理论上的证明，并将它定名为“大衍求一数”。传到国外称之为“中国剩余定理”。中国剩余定理被广泛研究，有许多关于它的计算著作。

有了同余就有了“商代数”。例如，在Z中，以模n的同余类有n个。在以这n个类为元素的集合Z/nZ=Zn中定义加法和乘法就得到有限交换环。n是素数时，就是有限域。“商代数”结构是{单数，双数}。Zn就是Z模nZ的“商代数”。

又如在以线性空间V模子空间W的同余类为元素的集合V/W也可以定义加法与纯量乘法而得到一个新的线性空间，称为V模W的商空间。

一般地，从有限域发展起来了特征不为零的域上的代数结构，如有限域、有限群的模表示、模李代数等代数学中的“新领域”，当然现在不能说是“新领域”了。

可以说用商代数导致了从无限到有限的发展。同样商代数也导致了从有限到无限的发展，Kac-Moody代数与超环面李代数是典型的例证。当然这些发展不能只归功于商代数。

对“量”的认识的深化，也是功不可没的。所谓对量认识的深化，就是由标量，到向量，到张量……因而也有了张量积、张量空间、张量代数等，这也是非常丰富的内容。

在大学的代数课程中通常不讲张量，将这样美好的对象拱手让给物理学、几何学，实在可惜。在代数学的许多分支中如李群李代数、群表示理论、结合代数、非结合代数、交换代数等都是离不开张量的。

在研究各种代数体系时有许多相似的概念及命题。主要围绕着性质、结构、分类和实现等问题。既然有如此多的相似之处于是有进一步抽象化，因而范畴、态射、函子等又出现了，也就是同调代数应运而生。

还可以举许许多多的例子来说明代数的抽象性。但是所有的抽象也不是完全凭空的想象。总是数学发展到一定程度而必然要出现的。当然也有超前的思想出现，但是这种超前的思想要得到理解发展也许要经过相当长的时间，就像伽罗瓦所遇到的情况一样。

从代数学的抽象性就知道学习代数从思想上说要学会把“具体”的数学学抽象了。例如，从向量的运算、矩阵的运算、多项式的运算、连续函数的运算等抽象出线性空间的概念；从可逆矩阵的运算、正交矩阵的运算抽象出群的概念；从多项式、矩阵抽象出环的概念等。

用句古话：“玄之又玄”很能描述代数学的这种抽象性的特点。如果只有“玄”，代数学是不能发展的。要知道“玄之又玄”乃“众妙之门”。代数学及整个数学都是人类对客观世界的规律的描述。《易经》第一卦是乾卦，《彖》关于此卦如是说：“大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形……”这就是说客观世界最主要的是“品物流形”。可以说品物流形是造化之身。

品物   物体是由分子构成，分子由原子构成，原子由质子、中子和电子构成。不仅如此，以后相继又发现，发展了基本粒子，振动着的弦，超弦，…，核物理，理论物理等。这些学科都是在研究“品物”。

群的概念有了之后，将群与数学分析结合起来有了李群理论，但是李群理论开始时并没有受到太大的关注。直到将转动群、洛伦兹群、李群、李代数等用于物理学的研究中，才受到很大的关注。不仅对物理学的研究起了很大的促进作用而且也促进了代数学的发展。如今发展出了量子群、李群李代数及其表示、李超代数、色李代数等许多新的领域。

流形  就是各种各样的形状。这自然是几何学研究的对象。将代数与几何结合起来的解析几何的产生不仅仅是促进了数学的发展，而且促进了整个科学的发展。在解析几何的基础上，微积分产生了，而且有迅速的发展。微积分的影响使几何的研究有了突破性的发展，由初等几何，到解析几何、微分几何、黎曼几何，……而代数似乎沉睡了。由于仅仅限于计算的研究，在思想上没有突破性的发展而沉睡了。直到群的观念的出现，将群与分析结合出现了李群李代数的理论。将李群与几何结合，有了黎曼对称空间的理论。由于李群在物理学，几何学应用的巨大成功推动了李群的发展。

抽象化或者代数化也深刻影响了几何的发展。几何研究变成了“变换群作用下不变量”的研究。更有甚者，以多项式方程的解为研究对象的代数几何中的多项式从实系数，复系数多项式变成了一般域上的多项式。总之，以各种各样图形（流形）为研究对象的几何学成了“得意忘形”的几何学。代数的思想、概念、方法在线性几何（解析几何、仿射几何与射影几何）与代数几何中的作用自不待言，就是在以微分为主要研究方法的微分几何中也是不能或缺的了。

在纯粹数学的其他分支当然也不乏代数的身影。

把数学理解为研究数量与图形的科学已经不能概括数学了。信息科学、计算机科学的产生和发展离不开数学，也离不开代数学。编码理论、离散数学等等都是代数学以不同的面貌出现在各个领域中。这些都是“数学技术”的重要部分。

与金融学、经济学等密切相关的数理统计学中也少不了代数。

无怪乎M. Atiyah说：“代数是解决某类问题的机器，而抽象代数是制造机器的机器。”

如果今天罗素能在网上讨论数学的结论是否正确，也许他会修改“数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”这句话。

“众妙之门”把代数学与众多学科的联系，在众多学科中的作用形容得太恰如其分了。科学分为人文科学与自然科学两大类。一般把数学划在自然科学的范畴中。艺术是划在人文科学的范畴中。也有将艺术划在“文化”的范畴中。有一种看法是将数学归于“文化”的范畴，因而有了“数学文化”的词语。“文化”一词有多种含义，其中之一是“人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和，特指精神财富……”。说数学是文化，也就是强调数学是精神的创造，与艺术有相通之处。数学中既有细致入微的工笔画，也有恢宏泼墨的写意画。数学的准确、严密、丝丝入扣，如ε-δ 等比之工笔画更工笔，非常引人入胜。这种工笔画在代数学中也比比皆是。

代数学中却更多地表现了浪漫的特性。“浪漫”的意思是富有诗意，充满幻想。创作上的浪漫主义则是用丰富的想象和夸张的手法塑造艺术品。如果想想虚数的产生，将不可计算的操作（如群元素等）进行运算，商空间中的一个点却是无边无际的子空间的陪集，这些想象比起三千丈的白发，水深千尺的桃花潭，飞流直下三千尺的瀑布，离天三尺三的山，…，不是更加浪漫吗?

一个方程x（t）²+y（t）²+z（t）²=r（t）²展示的不是几个字母和数字，而是空间漂移着的不断变化的球，多么绚丽多彩的景象！如果把维数增加到4，5，那就到神话世界了！

数学，特别是抽象代数等的艺术特性，尤其是其浪漫性就决定了如果考察一下数学发展史就可以看到许多关键性的发展是年轻人（年轻人或者大数学家在年轻时）作出的。

高斯（C. F. Gauss，1777—1855）德国数学家、物理学家、天文学家。童年时就显示出杰出的数学才能。在纯粹数学和应用数学的许多领域都有卓越贡献。1799年的博士论文给出了代数学基本定理的第一个严格证明。时年22岁。

阿贝尔（1802—1829）在22岁时自费出版了《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》。阿贝尔大学毕业后长期找不到工作。柏林大学决定任命他为教授为时已晚，他在聘书寄达的前两天去世。

伽罗瓦（1811—1832）在中学时，就对数学很有兴趣。1829年发表了第一篇论文。1829年5月写了关于代数方程可解性的论文，经柯西交法国科学院。伽罗瓦还是一位革命者，因政治原因，1830年2月被学校开除，1831年两次被捕入狱，1832年出狱不久死于决斗。

若尔当（C. Jordan，1838—1922）30岁时在群论方面已很有成就。他在置换群方面的工作收集在1870出版的著作《置换与代数方程专论》中。

李（M. S. Lie，1842—1899）挪威数学家，李群李代数理论的创始人。1859年入克里斯蒂安尼亚（今奥斯陆）大学，1865年毕业。他的第一篇论文使他获得出国学习的奖学金。此时他不到30岁。

嘉当（E. Cartan，1869—1951）1894年完成《论有限连续变换群的结构》而获博士学位，时年25岁。

诺特（A. E. Noether，1882—1935）的研究工作始于1907—1919的代数不变式与微分不变式。那时她二三十岁。45岁前（1920—1927）的研究工作，对抽象代数（近世代数）形成完整体系作出了不可磨灭的贡献。但是她在德国因是女性，是犹太人而备受歧视。

看了这些数学英雄的事迹，不就会由衷的发出“自古英雄出少年”的感叹吗?

数学，特别代数学本身就很有艺术性，大家欣赏时会带来许多乐趣。如果你从事数学的工作，代数学的工作，工作过程也会带来乐趣，甚至更多，更大的乐趣，特别是得到一些结果时，会带来很大的喜悦。代数由于其抽象性，许多代数学家的成就一时难以为人理解，承认，因此名誉、地位乃至生计都受影响。但是这些代数学家不后悔，不退缩，为什么?人们可以给出各种各样的解释，我的解释是：他们被代数学的巨大魅力迷住了，这种魅力不是物质的，而是艺术的。现在的时代是一个竞争的时代。中国要成为世界强国，一定要有高科技。高科技本质上是数学技术。因此中国也要是数学强国。推动数学发展的主力是年轻人。那么什么是数学强国呢?

陈省身先生有这样一段话：

“21世纪的数学的发展是很难预测的，它一定会超越20世纪，开辟出一片崭新的天地，希望中国未来的数学家能够成为开辟这片新天地的先锋。”

在中国，开辟新天地的先锋多了，就成为数学强国了。希望、重任都在你们身上了！

本文由刘四旦摘编自孟道骥著《代数之管见——漫谈代数学习》一书"第4讲  代数之管见"，根据作者在宜宾学院给本科生和研究生的报告整理而成。《代数之管见——漫谈代数学习》是根据作者退休后在一些学校、场合有关数学的一些讲话整理出来的，一个讲话列为一讲。前面12讲主要是与本科生和研究生的座谈：内容涉及介绍伟大的国际数学大师陈省身先生在中国改革开放之后，回到祖国促进中国数学走向大国、强国之路；如何提高学习数学的动力，学习数学的方法；如何提高数学能力；几何学的重要性；代数学的一些特性；通过函数的泰勒展开得到欧拉公式及其推广体会微分学的精要；由河图、洛书到幻方、正交拉丁方介绍一点组合数学；用连续5次报告向同学介绍李群的产生、成长和发展。这12讲的内容都在宜宾学院讲过。第13讲则是作者在宜宾学院发展高峰论坛上的发言，说明这些讲话的初衷。第5讲与第14讲、第15讲是在科学出版社主办的有关课程研讨会上的发言。第16讲、第17讲是在黑龙江省高校教学发展示范中心“大学数学基础课程”骨干教师教学技能培训班上的讲话；最后一讲则是与教师们座谈培养学生的话题。本书还收集了一些有关照片和图片与大家分享。点击“阅读原文”可购买本书

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