漫谈欧拉与（调和）级数求和 (1)

怎样证明调和级数收敛？欧拉常数怎样计算？欧拉常数是否为有理数？需要计算到哪一项才能说明部分和超过400？...

序

网络上不时兴起与数学有关的争议，在某种意义上说，这是好事，至少吸引人关注数学。较早前所谓“中国雨人”计算开方的，也很有数学话题，我们将来找时间谈谈。今天我们先谈谈最近的一个话题。

最近不少人都注意到一位网名叫“三江方士”的“数学爱好者”或说“数学研究者”。百度贴吧似乎还有"三江方士吧"。这位“三江方士”的一个最著名的研究课题是下面的和式

他说：“我断断续续算了20年，即便没有得到答案，但我确信这个和值是有限的，而且很可能不会大于400。我苦于自己不是数学专业没有快捷方法和先进机器，所以希望业界有心人士能来试一试，我相信这个课题比哥德巴赫猜想更有意义。”

上过大学，在那颗名叫“高数”的高树上掉过几天的人，大概都知道上面那个求和叫调和级数，是有名的发散级数，虽然级数中的项越来越小，最终趋于0。不少人也知道这个级数的前n项的部分和与logn的差为一个常数，叫做欧拉常数，约等于0.57721566490153286060651209，一般记做γ。

对于拥有上述“常识”的一些人，自然会笑话这位老兄，大概会把他比作不知道物理学定律，孜孜不倦地想发明永动机或想试图证明相对论、万有引力不正确的民间科学家。

但说实话，其中有很多有趣的问题值得讨论，在哂笑三江方士之前或之后值得深思并了解一二，即使是在高树树下跑过几圈的网友。比如怎样证明收敛？欧拉常数怎样计算？欧拉常数是否为有理数？等等问题。如果不用数学推理，硬算，需要计算到哪一项才能说明部分和超过400？

一句题外话，当年也有一个“疯子”，名叫拉马努金，声称一个明显发散的级数1+2+3+⋯+n+⋯等于-1/12，将来会找继续一文来聊聊这个级数的求和。

与此同时，可乐数学热心传播数学，做了些杯子，其中一个放上了欧拉的头像和一些欧拉的公式在杯子上。其趣味是，利用公式中的字母，凑出了欧拉的姓“Euler”。有点类似于中国文人常玩的嵌名联，嵌名诗。我们尚且把这个叫嵌名公式吧。他们“嘱予作文以记之”。我想，欧拉的求和公式很有意思，便不管自己对这个问题没有研究，漫谈下欧拉的求和公式，也作为自我学习。

我们就不限于谈论上面的调和级数，而是漫谈与此相关的一些东西。

欧拉的最美的公式

欧拉(Euler，1707－1783)是瑞士数学家，于在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。他一生不但子女多，而且数学作品也多产。他从19岁开始发表论文，直到76岁，在50十多年里写下了浩如烟海的书籍和论文，而且不是灌水之作，如他的《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都是经典。高斯（Gauss，1777-1855年）曾评论道：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．”拉格朗日也劝诫大众读读欧拉，说欧拉是所有人的老师。现在几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字。

以欧拉的名字命名的公式很多。例如，F−E+V=2，就是一个简单而又著名的欧拉公式。在特定情形，这个公式标示一个数学对象的面数F、边数E和顶点数V的关系。例如，对于立方体，我们有6 - 12 + 8 = 2，而对于四面体我们有 4 - 6 + 4 = 2。当然这个公式在一般的拓扑空间中都有相应的公式，例如，陈省身与现在是著名的对冲基金经理的James Simons做的东西就可以看做是此公式的推广。我们就不深入了。

我们主要来谈谈他的求和公式。我们先从一个或许是欧拉最著名的公式(1.1):

谈起(1.1)，因为她的背后其实也是求和公式。公式（1.1）在常常被人称赞为“最美的公式”。这个公式的特点是只用到加法，乘法和乘方这几个简单的运算，利用数学中最基本的常数0，1,用一个简单的等式,把与数学中、自然界中最令人着迷的常数e和π。

公式（1）其实是欧拉如下公式（1.2）的简单推论：

这也是一个神奇的公式。例如，高中生常常碰到如下一个习题，计算或证明下面的三角级数和

但如果你知道上面的欧拉公式(1.2)，利用等比级数求和计算

再通过欧拉公式比较虚部，就很快可以得到余弦级数求和公式。

公式(1.2)看起来很神秘，但如果你知道指数函数的级数展开

就可以得到欧拉用三角函数表示指数函数的公式（1.2）了。

这就是为什么我们说公式（1.1）和（1.2）的背后其实也是求和公式的原因。

利用上述三角函数的级数展开，欧拉还能直观地得到整数平方的倒数和：

调和级数为什么收敛？

我们先给从历史的观点看看，历史上是谁最先证明调和级数是收敛的。文艺复兴时代有位意大利数学家，名字叫蒙勾里（Pietro Mengoli, 1625-1686），是博洛尼亚的神职人员。博洛尼亚这个地方出数学家不奇怪，貌似博洛尼亚有世界上最古老的大学。上面提到的巴塞尔问题其实就是他提出来的。他提出巴塞尔问题就是因为他在此前研究过调和级数的问题。