线性因子模型的数学形式

我们通过构建线性因子模型来刻画市场收益率与某些因素的关系，本文我们再详细介绍夏普单指数模型的一些模型假设、参数估计与基于其的投资组合构建公式。...

指数与特有收益不相关：证券仅通过对市场的共同反应相互关联：

计算
与

首先暂且当我们已知β，如何求α与e的值。

我们可以通过先计算基于单指数下的估计股票收益率，与实际收益率的差值来获取α和e的值：同时我们知道e是满足均值为0的噪声项，那么α则为通过等式右侧计算出来的α+e均值。

估计β

（1）估计历史贝塔

一只股票的收益方程可以写为：如果假设
、
和
是固定的，不随时间而变化，那么同样的方程在任何时点都成立。由于我们的单指数模型是线性模型，我们完全可以最小二乘法来估计
以及
。通过公式可以得：其中n为我们用于建模估计参数的样本总数。

（2）度量贝塔向1回归的趋势——布卢姆技术

研究发现预测期的贝塔比根据历史数据得到的估计值更接近于1，下一步要修正历史贝塔，以体现出这一趋势。布卢姆通过直接度量向1进行的这种调整，并假设在一个时期进行的调整是对下一时期调整的良好估计来修正历史贝塔。

具体操作举例说明如下：计算出某一时段所有股票的贝塔，然后对同样的股票计算出下一时段年的贝塔。再将后一期的贝塔对之前的贝塔进行回归，得到估计方程：它度量了预测的贝塔比根据历史数据更接近于1的趋势。优点在于这一方程式降低了较高的贝塔值，而提高了较低的贝塔值。

（3）度量贝塔向1回归的趋势—瓦希切克技术

预测期的实际贝塔一般比根据历史数据得到的估计值更接近于平均贝塔。调整这一趋势的一种直接办法就是将每一个贝塔向平均贝塔调整。理想的情况是向平均值进行调整的量对所有的股票不是相等的，而是按照贝塔不确定性（抽样误差）的大小来调整。抽样误差越大，与平均值相差悬殊的可能性就越大，出于抽样误差所需的调整就越大。


表示历史时期所有样本股票的平均贝塔，将
和证券i的历史贝塔进行加权平均。

权重如下：这些权重之和为1，并且贝塔估计的不确定性越多，它的权重就越低。证券i的预测贝塔是：这样的加权方法将标准误差高的观察值向均值调整的幅度要大于标准误差低的观察值。

（4）多因子模型下的敏感度估计

我们前面介绍了线性多因子模型，知道理论上一个股票的收益是由公司的基本面、公司股票的市场特性等因素共同决定的。

首先确定会造成影响的因子，将其添加进多因子模型当中，然后通过多元回归分析将收益率与贝塔及几个因子变量联系起来。估计以下形式的方程式：那么同样可以根据最小二乘法，对上述的各参数进行估计。

其中αj表示的是该资产收益率对第j个因子的敏感性。其中Xj表示的是对股票产生影响的第j个因子。在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。结果是：

（1）收益均值：

（2）证券收益的方差：

（3）证券i和j收益之间的协方差：

这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。

W为组合得权重，则任何组合的期望收益是：其中：则：我们知道一个股票组合的方差的公式是：代入前面
和
的结果，我们得到：进一步还可简化为：那么通过权重W，我们可以搭建任意的市场投资组合，并且得到对应组合的收益以及波动率（方差）。威廉夏普所阐述的单指数模型以及CAPM亦或是Fama-French的三因子模型，都是基于线性因子模型构建而成的。在我们实际运作当中，可以围绕他们建模的基本逻辑，科学的挑选相关因子，通过上文提到的参数估计方法和基础假设建立属于我们的线性因子模型。

    关注 量化方舟