散射粒子函数

分子距离分布函数，小角散射结构分析的基础

距离分布函数能够反映分子在实空间的结构信息，可以通过对散射信号作傅里叶变换得到。同散射曲线相比，它包含了同样的结构信息，但是能更直观地反映出分子的外形特征。...

导读：距离分布函数能够反映分子在实空间的结构信息，可以通过对散射信号作傅里叶变换得到。同散射曲线相比，它包含了同样的结构信息，但是能更直观地反映出分子的外形特征。

距离分布函数也叫对距离分布函数（pair distance distribution function，PDDF）。顾名思义，它是点与点之间距离分布的统计。在小角散射实验中，散射强度来源于所有的辐照体积。如果对该体积内的电子密度的涨落做统计，计算量非常大，也无法直观地反映出被研究粒子的结构特征。因此，本文讨论的是稀溶液环境中的单分散体系，这样粒子之间没有相互作用，只考虑分子内部的距离分布函数。

如上图所示，散射场是样品内所有电子产生的相干散射波的振幅根据它们的相对相位叠加的结果。相位差取决于散射中心的相对位置。X射线小角散射信号主要来源于电子的相干散射，而依据傅里叶积分的线性特征，体积内所有电子的平均密度并不会产生有效信号，因此散射振幅表示为密度差的积分：

实际测量的散射强度I(q)则为粒子散射振幅F(q)的平方。无限稀溶液环境中的单分散体系，即粒子之间没有干涉效应，散射信号为单粒子散射强度I(q)的加和。

粒子散射振幅F(q)来源于粒子内所有电子，因此也反映了粒子内的电子分布信息。对其展开，

设r1 - r2 = r，利用r1 - r = r2，定义电子密度波动的卷积平方，

该方程定义为粒子位移r后形成的“影粒子”和位移前粒子相互重迭部分的体积，也称为空间自相关函数（spatial autocorrelation function ，ACF）。下图为一个二维示例，当“影粒子”越来越靠近粒子本身，其相关面积就越大，在r为0时达到最大值。

在实际应用中，需要在三维空间从不同方向进行此操作，即在r值不变的条件下，对 r的空间各个方向求平均值。

空间平均的散射强度值变为，

定义距离分布函数，

最终得到，

这就是Debye—Bueche散射公式。对于距离分布函数，可以理解为粒子内所有点之间的距离统计，该统计如何反映粒子结构信息呢？还是在二维上考虑，假设有所有城市居民的坐标信息，在他们之间连线，就可以画出城市的轮廓。他们之间的最大距离，就是城市的尺寸，同样，他们的距离分布可以反映城市的聚集程度，即不同地区的人口密度。

分子距离分布函数与散射强度包含了同样的分子结构信息，但是它一种实空间的描述，因此能更直观地反映出分子结构的信息及外形特点。下图为不同形状粒子的理论距离分布函数P(r)。

同时，它们的散射图像如下，不能直接地得到样品的最大尺寸。

当你有粒子的原子坐标信息，计算距离分布函数P(r)其实和计算散射曲线一样方便。但实验测量得到的散射曲线只能在有限的角度得到散射数据，且会有较大的误差（下图是BSRF 1W2B测量的8mg/ml BSA数据），如何用这样的数据得到距离分布函数P(r)就是一个很大的问题。Otto Glatter在1977年提出了IFT方法计算距离分布函数，本文中的推导也来自Glatter的演讲。