关于秩与方程组结合的两个重要结论

如果前面的公众号文章都认真阅读了，希望这时你看到行列式想到体积，看到矩阵的秩脑海中马上能想到看待矩阵秩的角度...



如果前面的公众号文章都认真阅读了，希望这时你看到行列式想到体积，看到矩阵的秩脑海中马上能想到看待矩阵秩的角度，看见两个矩阵相乘马上想到AB=C，结果是A中各列的线性组合，B中各行的线性组合。会求行列式的值，矩阵的逆，伴随矩阵，矩阵的n次方，会求各种线性相关与无关，会解线性方程组等等等等，当然，还有最后一章，二次型的内容会在接下来更新。

今天要讲的是两个结论，通过对这两个结论的理解和认识可以将很多东西串起来，既算是一个深化认识，也算是一个总结。
这段内容重要且有一定难度，希望大家多看两遍，如果下面内容都能看懂的话，线性代数问题也就不大了。

对于方程组Ax=b

1、如果A是行满秩的矩阵，那么方程组要么有唯一解，要么有无穷多解。

如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。怎么理解呢？比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。

A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。

上面是我们根据我们对线性代数的直观理解做出的推导，那么这个结论怎么证明呢？



2、如果A是列满秩的话，那么方程组要么有唯一解，要么无解。

两个结论看起来类似，但直观理解的角度不太一样。A要么是方阵，要么是瘦高型，A是方阵时根据克拉默法则也可知有唯一解，A是瘦高型的话，A的线性组合如果能构成b就是唯一解，不能构成b就无解了。（因为A中各列线性无关，最后x不可能有无穷多解）

还有一个角度，b是A中各列线性组合，b的这一列加到A后如果矩阵的秩加了1，说明无解，如果矩阵的秩不变，说明有唯一解。

这里大家可以结合一个实际例子来理解。







希望大家先不看答案做做这道选择题。

思路：对于选择题，一定要擅用特殊法和排除法。取A为单位阵，很容易排除B,C，取A为0矩阵，很容易排除D，答案选A，留个小问题，这题用常规方法你会吗？要多久能得到答案？

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