一个神奇的公式，炒股有了它，啥也不怕啦！

4.1 凯利公式1#最佳收益率仓位很多人对投资收益率与仓位的关系有一个模糊的概念：大概仓位越高，收益率越高；...

近期中小创深度调整，对于抄底，大家都跃跃欲试。那么到底能不能买，买多少为好呢？雪球菌给大家安利一个神奇的公式：凯利公式。你不知道什么是凯利公式？那还不来看看球友@clover42 的科普！

凯利公式：

1、最佳收益率仓位

很多人对投资收益率与仓位的关系有一个模糊的概念：大概仓位越高，收益率越高；因此很多人在股市中喜欢满仓，甚至融资。到底收益率与仓位有什么关系呢？先看下面一个例子。

例如有这样一种机会，有一半概率赚一倍，有一半概率亏50%，这种机会是否值得投资呢？

计算一下期望E=0.5*2+0.5*0.5=1.25，大于1，应该是值得投资的。

先把模型简化一下，对这种机会投资两次，一次赚100%，一次亏50%。

假设本金有100，每次拿出10%的资金投入，第一次赚了10。第二次再拿10%的资金投入，亏损5.5，最终104.5，收益率4.5%；如果每次拿出20%的资金投入，那么收益率为14%。

似乎看来，仓位越高收益越大。为了提高资金的利用率，全部投入。这样计算一下，第一次赚了100，第二次亏了100，收益率为0%。怎么收益率没有提高，反而大幅降低了呢？

我们将仓位和计算收益率的关系画成曲线，如下图所示。这条曲线与直觉是有差异的。显然不是仓位越大收益越高。在超过一个临界点之后，仓位的升高造成了收益的降低。甚至在仓位超过100%之后（未考虑融资成本），收益率竟然是负的！



而这个最大值怎么得到呢？之前有一个叫凯利的人已经研究过了，只要给出胜率和赔率，就能计算出这个最大值：p:赢的概率     q：输的概率（1-p）    a：输的损失率      b：赢的收益率

把上文的情形带入计算，得到f=0.5。对这种机会，始终投入50%的仓位将获得最大的收益！如果仓位低于该值，收益率会降低，如果仓位高于该值，收益率也会降低，甚至可能出现亏损！也就是说即使是一个赚钱的买卖，仓位控制不当还是会赔钱。

2、黄金准则

通过凯利公式可以推导出如下两条黄金准则：

1） 对于期望≤0的品种，无论如何配置仓位都不能取得正收益；所以赌博、彩票等期望为负的品种没有参与价值。

对于反驳说某某买彩票中大奖的人，需要明白实力与运气的区别。运气是无法通过学习提高的。Michael Mauboussin在《实力、运气与成功》[4]中有详细讨论。也可以读读巴菲特1984年在哥伦比亚大学的著名演讲《格雷厄姆-多德都市的超级投资者们》

在股市中，无数人用烂了的技术指标（KJD/MACD）的期望应该接近于0；

对于参与热点炒作来说更是飞蛾扑火。参考文章《纪念一个不再更新的指数》

关于“猜大小赌局”流传着一个赌徒必胜方法：押100猜大，赢了继续押100猜大，输了赌注翻倍后继续押大，只要赢一次，就会把所有输掉的钱赢回；只要赢了，重新押100猜大。

自己先想想哪里有漏洞，再看专家解答：《赌徒「必胜方法」 对不对？》，

对于参与的投资品种或策略，必须确保期望收益率为正，否则长期必输！

2） 仓位对于收益率具有重要意义

即使投资品种的期望收益率为正，但如果仓位不合适，资产的期望收益率仍可能为负的！

我们知道，现金不产生任何收益，但是在上面的例子中，为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中，反而能够促使资金总额实现增长？这表面上，似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解？以投资股票为例，因为现金和股票的比例f是一个固定的比例，如果股票价格升高，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高，这时为了保持f固定不变，就需要卖出一部分股票变成现金；如果股价价格下降，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也下降，为了保持f固定不变，就拿出一部分现金用于买入股票。所以，这里的赌注和现金就好象两个水池，比例f就好像它们之间的一个自动化的水泵，赌注上的资金多了，水泵就自动把资金往现金这个池子里面送；现金上的资金多了，水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去，在不做任何预测的情况下，却自动实现了“低买高卖”的效果。这正是对“重操作、不预测”的一个极好的注解。

因此对于股票投资，不要认为50%仓位就是保守策略，牺牲了收益率。实际上仓位过高收益率反而降低。

对于可能归零的品种，不管这个概率有多小，最有策略是永不满仓。

融资买入单一品种，再加上有强制平仓等等限制，有一定的概率爆仓，这种策略波动率极高（获得超高收益的概率增加了，巨幅亏损的概率也增加了），长期下来收益率最终会归零。

3、波动性

对于上述例子中的机会，仓位0.2和0.8，每次投资的期望收益率都是3.9%。那么这两种仓位配置有什么区别呢？

聪明的人马上就会想到，当然选择0.2仓位，因为可以多出60%仓位买货币基金也能提高收益啊。这当然是一方面。下面我们将会从波动性的角度来研究。上述的例子太过简单，只模拟了两次投资情形。下面我们模拟100次投资的情形，如果初始资金为1，仓位0.2，经过100次之后资金规模有多大呢？理论计算应该为47倍。通过软件模拟收益率曲线如图2所示，这次运气比较好，收益为83倍。



虽然输赢的概率都是50%，但实际上投100次输赢的频率并不是严格的50次，因此结果也是不确定的。我们假设有50个人都按照上述0.2仓位进行投资，由于大家的运气不同，最终的投资收益也不一样。如果把大家的收益率曲线都画出来，将得到一簇曲线：



可以看出大家的运气有很大的不同。运气差的收益只有七倍，运气好的收益有两千多倍。

如果50个人按照0.8的仓位进行投资呢？结果如图4所示。虽然期望收益率是一样的，但有人收益千万倍，有人却亏损了99.9%！

可能有人通过这种策略赚了1万倍，参考图4还是有几个人能做到的。然后他们会坚信自己投资策略的正确性，并四处宣扬这种策略。正如全美猜硬币大赛胜出的那几个人一样。然而其它人按照这种策略进行实践的时候，效果却不理想，大部分人收益平平，还有少数人巨亏。



可以看出，随着仓位的增大，收益率是先增大后减小，而结果的随机性一直在增大。随机性越大，运气就显得越重要。

波动率大小与什么有关呢？简单分析就可以知道，由赢时的期望收益与输时的期望收益比值有关。对于图3，该比值为1.2/0.9=1.33，即对于100次投资机会，两个人仅仅有一次运气不同，最终收益会差别33%。对于图4，该比值为1.8/0.6=3，一次坏运气，资产就缩水2/3.

我们把波动性看作风险之一。过高的波动性会带来结果的不可控，并且引申出其它风险。关于风险会在4.3节介绍。对于图4的投资策略，结果的离散性非常大，期望收益率显得微不足道，运气显得更加重要，结果难以预先把握。这种策略更接近于赌博，而非投资。当仓位为100%的时候，收益率曲线就完全与抛硬币猜大小相同了，这时就完全变成了赌博。

虽然上面的例子是50%的仓位对应的期望收益率最高（为6.1%），但此时的波动率是非常大的，超出了很多人的承受能力。大多数人能容忍的波动性是非常有限的，因此合适的仓位比最佳收益率仓位要低得多。

对于投资指数基金，全仓etf还没有动态平衡策略（一半etf，一半现金）收益高。指数波动率越高，动态平衡策略的收益越高。

4、现实问题

让我们回到现实的投资上来。在现实世界里，概率和赔率都很难确定，如何计算最佳仓位呢？

虽然对概率和赔率的准确值难以确定，但会有自己评估的一个范围。对于标的研究的越透彻，我们对概率和赔率评估可以越准确。

一种评估自己的方法就是看看自己的历史交易记录，每只标的的实际情况与当初自己的评估（一定是当时的记录，而非回忆）进行比较。如果有几十或者上百个标的的记录分析，就可以对自己的评估和现实情况进行分析。对概率和赔率的判断是偏保守还是激进，过去评估的准确性有多高，一致性如何，以及如何调整当前的评估方法。

随着仓位的提高，收益率存在最大值，但波动率却逐渐增加。因此对于实际的仓位配置应偏保守为宜，这样即使评估出现偏差，往往是期望收益率的下降。而如果仓位比较激进，出现偏差会导致结果的很大不确定性，期望收益率甚至为负。

单一个股是有归零风险的，到底仓位多少合适因人而异。Graham说过，对于普通人来说，过于集中是赌博，而对于Warren来说不存在这个问题。我的观点基本一致，投资高手当然可以集中一些，但对于普通人来说，个股的确定性太低了，必须充分分散。设想一个极端，即使你对股票一窍不通，只要足够分散（购买指数ETF），就会获得平均收益，甚至能排到中等偏上的位置。市场中的专业投资者非常多，普通人想在个股研究上超越他们及其困难。退而求其次，放弃暴利的幻想，充分分散，通过资产配置和情绪管理，才是合适的选择。

5、多种资产配置

之前探讨的都是单一资产情形，类似股市里只有一只股票，来研究这只股票和现金的比例关系。实际情况是市场里有几千只股票，而且还有债券市场等。

凯里公式可以推导出同时有多个投资机会时的资产配置策略。但推到过程复杂，需要的参数太多。基本结论是如果有多个彼此独立的投资机会，那么每个机会的最优仓位比没有其它机会时低（可以将其它机会看做机会成本），而总仓位会比单个机会的最优仓位高，最终收益率也会比单个机会高。

多种资产配置的核心是要找到相关性较低甚至负相关的投资品种，那么通过资产配置，就可以在不降低收益的同时，降低资产的波动率，显著提高夏普比率。David Swensen管理的耶鲁大学基金会就体现了这一点。由于大学基金每年都有固定的资金支出，因此一旦出现基金净值的向下波动，此时支出的资金就将波动性兑现成永久性损失。他还给普通个人投资者写了一本书《不落俗套的成功》[8]，指出资产配置是投资者收益的主要来源。核心的资产类别包括股票、国债和房地产。多元化要求每种资产类别至少占5%~10%，并且不能高于25%~30%，这样才能使多元化真正起作用。

蛋卷安睡全天候[9]也通过大类资产配置以非常低的波动性获得可观的收益率，其资产包括股票、债券、黄金、油气等美股ETF。

仅对于股票类资产来说，分散持有5~10个是非常有必要的。需要注意的是不同股票之间的波动的相关性是比较强的，即使分散持有上百只股票（如ETF），也无法完全避免整体价格的大幅波动。

6、思考题

在资本市场，什么样的投资品种适合配置较高仓位？

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