古琴琴学探源：五音十二律与十二平均律

三分损益法在司马迁的《史记》“律书第三”中写到∶“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为征。三分益一，七...

古代的五音十二律来源于三分损益法（前文：先秦乐律学理论成果——三分损益法已经详述）

三分损益与十二律的相关物理
在声学中，声音的高低（如西洋音乐中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是与物体振动的频率。当我们取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。
除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为“八度音”。所以“三分损”（长度变为原先的2/3）与“三分益”（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个“八度音”的关系（4/3 是 2/3 的两倍）。由此，我们便可以从九九八十一的长度出发，试算前述藉由“三分损益”求得的长度，所得到的十二律∶
我们注意到最后一个“清黄钟”的长度39.9546，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。
黄钟∶81；
林钟（由黄钟三分损而来）∶81 * 2/3 = 54；
太簇（由林钟三分益而来）∶54 * 4/3 = 72；
南吕（由太簇三分损而来）∶72 * 2/3 = 48；
姑洗（由南吕三分益而来）∶48 * 4/3 = 64；
应钟（由姑洗三分损而来）∶64 * 2/3 = 42.6667；
蕤宾（由应钟三分益而来）∶42.6667 * 4/3 = 56.8889；
大吕（由蕤宾三分益而来）∶56.8889 * 4/3 = 75.8519；
夷则（由大吕三分损而来）∶75.8519 * 2/3 = 50.5679；
夹钟（由夷则三分益而来）∶50.5679 * 4/3 = 67.4239；
无射（由夹钟三分损而来）∶67.4239 * 2/3 = 44.9492；
仲吕（由无射三分益而来）∶44.9492 * 4/3 = 59.9323；
清黄钟（黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）∶59.9323 * 2/3 = 39.9549。
我们注意到最后一个“清黄钟”的长度39.9546，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。
另外，若在定律时不断地使用三分损益的操作，最后一定会出现除不尽的小数，使得在实际制作时容易产生误差。然而在现实上，准确度（Percision）与精确度（Accuracy）绝对有其极限，所以经过十二次的三分损益之后，已经可以构成一个（不甚完美）的音阶循环。这也是为何中西音乐理论中，都不约而同地发展出以“12音阶”为主流的原因。之后才会出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法。
从上面所计算出来的结果，我们对照《史记．律书》中的文字，便可发现当中的抄录错误。宋代沈括的《梦溪笔谈》，便记载了《律书》当中出现“七分”之类的文字，当为“十分”的误写。因此原文中的黄钟“八寸七分一”为“八寸十分一、81分”才合理。

一、十二平均律乐理发展史 

人类的三大类乐器类别：弦乐，管乐和打击乐有其分别的来源，但音律系统则基本上是从音调变化最丰富的弦乐上发展起来的。弦乐就是利用琴弦的振动发出声音，琴弦振动部分的长短、粗细、质量、密度等因素综合决定了它振动的频率。一般来讲两根同质琴弦的长度比等于它们所发出声音频率的反比，这成为了制定音律标准的最佳性质。



要使不同的音组合在一起形成音乐，必须定出这些音的相对音高，并将悦耳动听的音进行组合；此外还要定出绝对音高，使同一首音乐到哪里演奏都有相同的效果。因此早期的人们以一根固定长度的琴弦为准，将其作为标准音高，然后用各种不同的比例切分这根琴弦，从而得到了多种不同的音高。这些音律的具体制定过程我们留到后文再行说明。

为了便于记录和表达这些音高，人们发展出了表示相对音高的十二平均律系统和表示绝对音高的五线谱系统。这些音律系统历经上千年的变革与改进，并随着数学水平的发展不断提高而趋于稳定，最终形成如今庞大而复杂的理论体系。后文的相关内容也是围绕相对音高和绝对音高两大系统展开的。

目前世界上最通用的音律体系——十二平均律的历史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中国人何承天。公元16世纪的明朝人的朱载堉（参考前文：明朝的音乐王子：朱载堉）将十二平均律发展为完整的理论水平，到16世纪末，由当时教皇国的传教士利玛窦将十二平均律法从中国带回西方，直到17世纪才开始在欧洲大陆广泛流传。中国人发明了十二平均律，但中国文明自清朝开始的衰落，使得中国古典音乐的理论水平与西方音乐的差距越来越大，直到没落于下里巴人。

当西方有了十二平均律这一黄金律法，新的和声理论、自然调式（念“Diao Shi”，不念Debug）和各种相关调性也就随之产生了，而这些系统则几乎全是由西方发展出来的。我们目前听到的所有古典音乐和现代音乐（包括流行、摇滚、歌舞剧）都是基于西方的音乐理论。

西方古典音乐可以说发源于文艺复兴时期（1400年到1600年），在文艺复兴时期结束时，音乐艺术已经有了长足的发展。人们获得了改进的和新发明的各种乐器， 比如新式的小提琴、羽管键琴（也叫大键琴，是钢琴的前身）、双簧管（尚未从萧姆管中完全脱胎）等等。还得到了新的演奏和作曲技法，比如更复杂的和声技巧，对位法技巧等等。当然，还有最重要的东西：五线谱。在文艺复兴时期之后的巴洛克时期，这些新玩意帮助音乐家们进一步的挖掘音乐理论层面的东西，现代乐理就是在这一时期逐步发展完善的。

西方音乐长期以来都是为教会服务的，西方宗教也非常重视音乐艺术的发展。音乐课是教会学校的主要课程，很多音乐理论也都来自于教会音乐家。当时的调式系统称作“古教会调式体系”，一共有12种，现在只有少数仍在使用，包括对应自然大调的“伊奥尼亚”调式和对应自然小调的“爱奥尼亚”调式。关于调式与调性的知识，会在后面的内容中做进一步介绍。

历史课就暂时上到这里，下面我们开始分别介绍十二平均律和五线谱。

二、十二平均律乐理

十二平均律是音乐中最底层的系统，规定了两个单音的相对音高，就像计算机中的二进制系统规定了各种运算方式一样。简单来讲，十二平均律体系将一个“纯八度”（暂不理会为什么叫做“纯八度”）分成12份，每份称为1个半音，两份为1个全音，以此定出所有中间的单音。现在我们有了好几个需要定义的名词，下面将是一大堆严谨的数学定义，希望大家不要怕。

为了表示相对音高，首先要给出音程的概念：音程就是两个音之间的频率差距，用音数来衡量。频率不同则音不同，而从数学上讲频率是连续的，因此音也是连续不可数的。但是十二平均律系统规定了离散的音的产生方法，这样我们就可以“数出”音程了。

频率比为1:2的两个单音之间的音程被定义为“纯八度”，例如某个单音的频率为f，那么它与频率为2f的另一个单音之间就构成了一个“纯八度”音程。按照十二平均律系统，我们可以以f为基准音，在区间[f,2f]内得到13个不同的单音。如果将f设定为440Hz，从f到2f这13个单音的频率就可以用前述公式算出，把它们画在坐标系中如图3所示。

注意每两个相邻的单音之间是等比关系，比例是，因此它们所构成的是一条指数曲线。根据上述方法，给定任意基准频率f，我们都可以在区间[f,2f]中构造出13个单音。十二平均律系统规定任两个相邻的音之间的音数为0.5，那么给定两个音的音程为t（即两音之间相隔的音的数量*0.5）和较低的一个音的频率为，我们就可以算得较高那个音的频率
：。13个单音之间不同的音程一共只有12种，人们给它们都起了名字：

相差音数0.511.522.533.544.555.56音程名称小二度大二度小三度大三度纯四度三全音纯五度小六度大六度小七度大七度纯八度

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