一分钟数学——月牙定理

月牙定理...

月牙定理

在公元前5世纪时，人们已经能够证明对于任何一个多凸边形，都可以画出一个与其面积相等的正方形（因为当时人们只会求正方形的面积、不会求其它几何图形的面积）。但是，人们无法说具有弧形边的图形的面积能够等同于一个能够画出来的正方形的面积。这个时候，希波克拉底提出了伟大的月牙定理，（如下图）就是两边的阴影月牙的面积之和（黄色部分）恰好等同于中间三角形的面积（粉色部分），而三角形的面积就可以化成一个正方形了，因而求得黄色部分的面积。

在此就不详细说明月牙定理的证明过程了，因为以现在我们所掌握的数学知识，并不是很困难。它最巧妙的地方就是在计算的时候可以避免 π，从而使得结果并不会是一个无理数。不过，在各种各样其它的具有弧形边的几何图形中，都不存在能够避免 π 的情况。

毕达哥拉斯学派当时认为世界上只存在有理数，或者说是 p/q（p和q为整数）。当然，我们可以直截了当地否认这一观点，因为 π 就不是啊。另一种说法就是有关一个正方形的对角线的，如果它的边长为1，那么它的对角线长多少呢？必然是根号2，但这是一个无理数。

化圆为方（面积相等）是不可能的，为什么呢？这其实和上文类似，设圆的半径为1，那么正方形的面积是 π ，而正方形的边长就是根号 π ，这显然是无理数，无法用直尺画出来。这都说明了月牙定理的奇妙之处，因为有 π ，所以在做有关圆的题目的时候都会遇到结果是无理数的情况，而月牙定理不会，必然解决了一大难题。

虽然化圆为方是不可能的，但我们知道三角形和多边形是可以画出与其面积相等的正方形的。那么，我要留一个问题给大家：如果只给你一把没有刻度的直尺，和一个圆规，你能够画出与给定三角形面积相等的正方形么？如果有任何想法，可以在微信公众号内直接回复，或在底部留言。如果需要，我也会提供具体的画法的！