中项法出奇招

定义法是不是无脑解法，是不是套路满满？别太高兴啊，它不是万能的.今天再教你一招，中学阶段的证明两等数列就无敌了....



昨天说的是《证明两等数列的无脑解法》.

看过的童鞋一定感慨：都是满满的套路啊.

可是无脑归无脑，这个办法能搞定所有的这类证明问题吗？

额，额
，不敢说，不敢说，比如下面这道题.

分析：昨天的文章《证明两等数列的无脑解法》提出，证明数列为等差或等比数列的首选方法是定义法.

这类题目的出题模式是这样的：题中给出数列的相邻两项bn和bn+1的关系，要求证明某个含有bn的复杂数列为等差或等比数列.

解法就是：

1.若要求证明等差，就用bn+1-bn，代入题中所给关系式，化简得出结果是一个常量；

2.若要求证明等比，就用bn+1/bn，代入题中所给关系式，化简得出结果是一个不为零的常量.

本题比较独特：虽然要研究数列{bn}，可是题中给出的关系式中却夹杂着数列{an}.

我们要想方设法把an，an+1消去.

如何消去呢？

这样an+1就可以用含有bn的关系式来表示了.

可是（1）式中还有an怎么表示呢？

这就要用到数列的迭代思想，（3）式中n的取值是任意正整数，我们可以把每一项的脚标同时减小一个.



我们成功地把an和an+1用含有bn的式子来表示，下面用代入消元法.

这种证明的方法称为中项法.

说的具体一些，中项法又分为等差中项法和等比中项法.

下面的求解过程顺理成章，先求中间数列的通项，它能够帮助我们最终求得数列{bn}的通项.

昨天和今天的文章总结起来，就是证明复杂数列为等差或者等比数列的两种方法：

1.定义法

2.中项法.它们是中学阶段的主流办法.

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