三角形费马点线段

费马点与初中数学题的碰撞

通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构。...

提到费马点，要说到一个人：费马。

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法国著名数学家费马曾提出一个问题：在三角形所在平面上求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。后来这个点被称作“费马点”。

下面这幅画描述了得到费马点的方法：

可以三角形的每一边各作一个等边三角形，然后分别连接等边三角形的顶点和原三角形的定点所形成的三条线将交于一点，即得。画面同时揭示了三个等边三角形的外切圆也将交于此点。

费尔马的结论 : 对于一个各角不超过120° 的三角形 , 费马点是对各边的张角

都是 120° 的点 ,对于有一个角超过 120° 的三角形 ,费马点就是这个内角的顶点。

下面简单说明如何找点 P ,使它到A、B、C三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小 ?这就是所谓的费尔马问题。

把△APC绕A点逆时针旋转 60°

点 C ′可看成是线段AC 绕 A点逆时针旋转 60° 而得的定点 , BC ′为定长 ,所以当B、P 、P′ 、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。

当△ABC的每一个内角都小于120° 时 ,所求的点 P对三角形每边的张角都是

120° ,可在 AB 、BC 边上分别作 120° 的弓形弧 ,两弧在三角形内的交点就是 P 点；当有一内角大于或等于 120° 时，所求的 P 点就是钝角的顶点。

费尔马问题告诉我们 , 存在这么一个点，到三个定点的距离的和最小 , 解决问题的方法是运用旋转变换。

探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC=PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在弧BC 上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+______；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段_AD_的长度即为△ABC的费马距离．

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

实际应用

以BC为边在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，AD的长就是△ABC的费马距离。

通过旋转变换 , 可以改变线段的位置 ,优化图形的结构。在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础 , 即存在相等的线段 ,一般地 , 当题目出现等腰三角形 ( 等边三角形 ) 、正方形条件时 , 可将图形作旋转 60° 或 90° 的几何变换 ,将不规则图形变为规则图形 ,或将分散的条件集中在一起 ,以便挖掘隐含条件 ,使问题得以解决。费尔马问题是个有趣的数学问题 , 这些问题常常可通过旋转变换来解决。