【竞赛专题】内角比为 4：2：1 的三角形的一些性质

值得一看！...





上题来自 2009-10 匈牙利数学奥林匹克 。2016 年普陀区初赛最后一题，2016 年上外直升考，都考过了类似的题目，它们都涉及内角比为 4:2:1 的三角形的诸多性质。

为什么这种三角形有这么多性质？首先，它能完美嵌入正七边形中（4+2+1=7），其三条边正好对应着正七边形的边和两条对角线，故可考虑使用托勒密定理。

其次，三个内角中有两组二倍角关系，二倍角可以构造相似，可以构造等腰三角形，这样的性质、添线方法都是经典的。

最后，记 θ=180°/7，则 180° = 7θ = 2θ+2θ+3θ = 3θ+3θ+θ，利用角度关系可以构造两种不同的等腰三角形，这也为图形分析增加了突破口。

综上，内角比为 4:2:1 的三角形性质多，解题方法更多，是赛题常考的类型。下面将 4-2-1 三角形的性质分两组进行介绍。

证明方法：

4-2-1 三角形的三边有诸多性质，哪些性质的组合是独立的，或者说哪些命题的逆命题是真命题，个人觉得也值得思考，不过这已经超出本文讨论的范围了。

最后感谢湖北郭刚明老师、杭州姚进老师、兰生复旦朱斌老师、四川李老师等前辈在本文撰写过程中提供的无私帮助！

思考本文的过程中，自己瞎编乱造了一题，结论十分漂亮！原以为有十足把握是真命题，结果是道大错题（由朱斌老师及四川李老师指出）。我究竟哪里犯错了？中间经历了怎样的过程？题目为什么显得如此正确？请听我下回分解。

请注意：这是一道错题！

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