【习题研讨】一道末两位数的求法

一道正整数幂末两位数的问题！...

一年前在翻阅上中夏令营试题时，发现一道非常吓人的题目：求下面这个数的末两位数。

这题虽然很容易知道个位数是几，但十位数看起来很难求，而且我很长时间以来都不知道怎么下手，当时也不知道问谁去。

一个人做不出奥数题很正常，所以自己并不是很焦虑（大概因为不用考试了）。我相信假以时日，自己的知识和技术准备好了，就能解决这些奥数题了。

当然，我这么有信心，也是因为《华罗庚科普集》中的一段话一直鼓舞着我：

一年后，有了草根群，有了各位大神们的帮助，也有了自己公众号读者们的支持，不断学习后，我终于准备好了！今天就把本题的解法分享给大家。

一个误解

要注意运算顺序，左边化简结果是 5 的 262144 次方，而右边是 5 的 24 次方，也就是说左边远远大于右边。这也提示我们本题用一般的 PC 端的软件也许不一定算得出来，所以我们要利用数学知识处理一下题目.

如何求末两位数

可以找到两个基本的方法：① 找规律：可以猜到一个数的正整数幂的末两位数是周期性重复的（可以证明循环周期不超过 20）；

②同余法：求末两位数就是对原数取模 100 求余数，由于 100=4*25，还可以分别取模 4，取模 25，分别求出余数后，解简单的同余方程即可。我们举一例说明：

8^2016 的末两位数是几？

解法一：

找规律. 依次计算 8 的幂，可以发现末两位以08,64,12,96,68,44,52,16,28,24,92,36,88,04,32,56,48,84,72,76 为周期，每 20 个一循环，则本题指数 2016 除以 20 余 16，则末两位为循环节中第 16 位的数，即末两位为 56。

解法二：

以上表明末两位数除以 25 余 6，则可能为 06,31,56,81，又它是 4 的倍数，所以只能为 56.

原题我的解法

反复尝试我觉得还是采取方法一较好，首先列举出 13 的正整数幂的末两位数：13,69,97,61,93,09,17,21,73,49,37,81,53,89,57,41,33,29,77,01，可以发现同样每 20 个一循环，问题降解为：

除以 20 的余数是多少？继续找规律，看看 12 的正整数幂除以 20 的余数是几，进而发现余数以：12,4,8,16，每 4 个为一个周期循环. 所以，还要计算

除以 4 的余数，这并不难：

这样

除以 20 的余数就等于 12^1 除以 20 的余数，也就是 12，这表明原数的末两位数是循环节中第 12 个数（13,69,97,61,93,09,17,21,73,49,37,81,53,89,57,41,33,29,77,01），所以本题的答案即为 81.

题目解完了，要非常感谢朱斌老师曾经的指点，还有叶军老师的奥数教程，《奥赛经典》系列上面的一些章节。

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