数学之美

第40期...





第40期  33问题

来源：Quotations by Hardy

大家对于勾股定理已经很熟悉了：

a2+b2=c2

有一类方程与上面这个方程是类似的，比如：

N=a2+b2

N= a2+b2+c2

N= a3+b3+c3

N= a4+b4+c4+d4

……

仔细观察可以发现，这些方程未知数项对应的系数都是一样的：

N= an+bn+cn+······

古希腊数学家丢番图首先发现，n次齐次方程具有某些奇妙的性质，为了纪念他，我们将这类方程统称为“丢番图方程”

今天我们为大家带来的是丢番图方程的一个分支：三数立方和

N= a3+b3+c3

很多整数可以分解成三个整数的立方和，比如：

0=03+03+03

1=03+03+13

2=03+13+13

……

也有另一些整数无法分解成三个整数的立方和，比如4和5；

看到这里，同学们一定会有疑问，你怎么能确定不是4和5的分解方法还没被找到呢？

我们用余数来做一个简单的证明，考虑一个数除以9的余数，共有9种可能：0、1、2、3、4、5、6、7、8，那么它们的三次方除以9的余数只有3种可能：0、1、8：

那么3个三次方的和除以9的余数不可能是4和5：

0=0+0+0

1=0+0+1

2=0+1+1

3=1+1+1

4

5

6=8-1-1

7=8+0-1

8=8+0+0

因此所有除以9余4或余5的数，都不可能分解成三个整数的平方和；

反过来说，如果一个数除以9的余数不是4或5，它是否一定能分解成三个整数的平方和呢？

我们来试试看好了：

6=83+(-1)3+(-1)3

7=83+03+(-1)3

8=83+03+03

9=03+13+23

10=13+13+23

11=33+(-2)3+(-2)3

12=103+73+(-11)3

15=23+23+(-1)3

16=23+23+03

17=23+23+13

18=33+(-1)3+(-2)3

19=03+33+(-2)3

20=13+33+(-2)3

21=163+(-11)3+(-14)3

24=83+83+(-10)3

25=33+(-1)3+(-1)3

26=33+03+(-1)3

27=13+33+(-1)3

28=03+13+33

29=13+13+33

通过观察可以发现，一些数很容易拆开，而就在这些数附近，也许就会有一个很难拆开的数；

30可能是我们遇到的第一个障碍，直到1999年数学家才找到它的最小分解：

(2220422932)3+(-283059965)3+(-2218888517)3

在它之后是另一堵更高的墙：33；

截止去年，数学家已经搜索到10的15次方的数量级，仍未找到可行的解，

33是否能够拆分，仍是一个悬而未决的难题。这就是数论中著名的“33难题”（许多人的第一反应一定是：前面32个难题是什么吧~）

另一方面，对于可以拆分的数，有时存在不止一组解，

1=03+03+13=93+103+(-12)3=83+93+(-6)3=……

事实上，对于1来说，存在无数组解，我们关心的下一个问题就是解出现的密度（即，我们能够多快找到下一组解）：

利用因式分解方法，可以凑出“1”的参数解：



对于任意的整数m都是成立的；

（按：事实上，我们已经找到一系列关于“1”的参数解，你可以理解为一个专用的工具箱）

我们可以利用工具箱里工具的数量，对所有可行的方法做一个大概的估计；

当然，并非所有的数都能找到参数解，例如30，尽管我们怀疑它有无数组解，但是解的数量级会迅速变大，那么把它解出来就要花费一些功夫了

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