费曼用概率方法巧“证”费马大定理

费曼证明费马方程有非平凡整数解的可能性非常非常小。...



欧阳顺湘 翻译

理查德•费曼(Richard Feynman)或许是20世纪最有天赋的物理学家。他以拥有强大的数学和物理直觉来解构复杂的概念并从第一原则来解决问题而知名。有数不清的逸闻趣事显示费曼的天才：在MIT念本科时,他用自己的方法求解看起来不可能处理的积分，在普林斯顿念研究生时独自推导薛定谔方程。我在阅读施韦伯(Silvan S. Schweber)的书《量子电动力学及创造它的人》（QED and the Men who made it） 中有关费曼推导薛定谔方程的介绍时，见到书中提及费曼曾写有两页纸的有关费马大定理的稿件。费曼的稿件并没有出现在Schweber的书中，但Schweber对费曼的方法作了一些解释。我下面更详细地叙述下。



17世纪，费马称若n为大于2的正整数，则方程x^n + y^n = z^n 无非平凡整数解，x,y和z都不是0的解。这个声明通常被称为“费马大定理”或“费马最后定理”，方程x^n + y^n = z^n 被称为“费马方程”。

在长达三个半世纪的时间里，这个难题吸引了许许多多著名数学家的兴趣，其中包括欧拉，勒让德，狄利克雷，库默尔，以及近来的罗杰•希斯-布朗（D.R. Heath-Brown）, 格哈德•弗雷（G. Frey）和怀尔斯。怀尔斯最终解决了这个问题。

Schweber没有提费曼稿件的写作日期。但费曼死于1988年，而安德鲁•怀尔斯是在1995年发表他关于费马大定理的证明，所以当费曼写他的稿件时，费马大定理仍是数学中最有名的公开问题之一。费曼的稿件有趣之处在于费曼的方法纯粹是概率方法。设N为大整数（后面我将解释我们为什么这样做），费曼一开始是计算一个数N为n次完全方的概率。为此，我们需要计算sqrt[n]{N}和sqrt[n]{N+1}之间的距离

















这表明这个概率小于10^{-33}。据此费曼作出结论：“依我看，费马大定理是正确的”。从数学的观点来看，这当然不是很正式的。它也远远比不上怀尔斯多年功夫写成的110页长的证明。然而，这就是说明费曼的科学方法与天才的很好的例子。正如费曼常说的:

理论物理的主要工作就是尽可能证明你错了。

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