莱布尼兹的习题、伯努利兄弟与调和级数（上）漫谈调和级数（4）

伯努利利用莱布尼兹的一个学数学时的一个练习结果证明了调和级数的发散性。...



漫谈欧拉与（调和）级数求和 (1)

以有涯随无涯|漫谈欧拉与（调和）级数求和 (2)

调和级数的发散性与素数的无穷性|漫谈（3）

我们在上一节中介绍了蒙哥里和奥雷姆证明调和级数发散的方法，也提到将介绍著名的兄弟组合——弟弟约翰·伯努利（John Bernoulli）及其哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎)——在这个问题上的故事。

你可能说蒙哥里和奥雷姆两位还不算大数学家，但伯努利兄弟是足够重量了。这两个兄弟的出场，一方面说明调和级数足够有趣，吸引了他们的注意力。更重要的意义在于，他们对问题的看法往往不局限于这个具体的问题解答，可能会对整个级数的研究提出一些看法。后面我们将看到这一点。

虽然如前述，这两个兄弟之间在数学上明争暗斗，却不知何故，在调和级数这个问题上，他们却罕见地有谦让。



雅各布·伯努利

1689年，哥哥雅各布·伯努利写了篇文章《论无穷级数》（ Tractatus de seriebus infinitis），讲述无穷级数的故事。雅各布在这篇文章中证明了调和级数发散，但他却将证明方法归功于弟弟约翰。因此我们下面就不区分是弟弟还是哥哥给出了证明，模糊地用伯努利的这个姓。

雅各布的这篇文章也被附录在他的名著《猜度术》（Ars Conjectandi）中。所以可以通过这本书讲概率的书找到这篇文章。《猜度术》虽然主要是关于概率论方面的论述，但也有部分内容是微积分方面的，除了无穷级数，后面我们还会提到这本书中关于整数幂的求和公式。

值得注意的，我们这里虽然使用了发散、收敛这样的概念，但在当时，是没有这样的概念的。直到柯西给了严格定义，用部分和的极限来定义级数，才有清晰严格的定义。这也是为什么雅各布要用一些复杂的语言的原因。



伯努利的证明

伯努利的原始证明只要稍作更改就可以理解。他先引入



这不过就是调和级数去掉了第一项。调和级数的发散与收敛，总是与去掉或增加有限项无关。

然后伯努利把这个级数的分子变成1,2,3,...，也就是写成

类似于蒙哥里的证明，伯努利的证明的最后会得到A=1+A.因此A不能为有限数，也就是说调和级数不收敛，否则将得到1=0的显然矛盾。

为了得到A=1+A，伯努利要证明A和1+A等于同一个东西。他聪明地用到了莱布尼兹的初出茅庐时的一个小结果。莱布尼兹初学数学时，他的老师惠更斯给他出的一个练习：



我们留到后面来讨论这个级数相关的问题，以及更后面来介绍莱布尼兹与调和级数的故事。但我们提前提示下其中的主要规律：这个级数各项的分母



也就是说，数列各项之差所得的数列就是从2开始的简单自然数列。注意到调和级数就是自然数倒数之和。因此，莱布尼兹研究的级数天然与调和级数数列有密切的联系。

现在，伯努利把莱布尼兹的级数除以2，并记之为C（=1）：



然后分别从这个级数中连续去掉第1,2,3,...项，构成一系列级数，且错位排列：

（请点击放大看原图）



伯努利现在要把上面的等式加起来。要点是，左数第二列（第一、第二个等号之间的数）之和与最后一列的结果之和，都等于第一列之和。

容易观察到的是，最右边的列加起来，不但等于最左边的列之和，也恰好是调和级数加1，用数学公式表达就是



得到了调和级数的发散性，雅各布是如此激动，还在论文中写了首诗：

As the finite encloses an infinite series

And in the unlimited limits appear,

So the soul of immensity dwells in minutia

And in the narrowest limits no limits inhere.

What joy to discern the minute in infinity!

The vast to perceive in the small, what divinity .

    关注 可乐数学