以有涯随无涯漫谈欧拉与（调和）级数求和 (2)

数学不受光速限制，物理上追不上的东西，数学上可以作理论探讨。比如调和级数，用最快的计算机逐项加，加到宇宙末日也加不到400。但有了数学思想和方法，我们却能证明它发散，做到以有涯随无涯。这就是数学思想的力量。...





可乐数学按：我们前面在6月2日发了一篇 漫谈欧拉与（调和）级数求和 (1)，要接的内容很多，恰好4日万精油先生写了篇相关的妙文，特转载。

今年二月十一日，激光干涉引力波天文台（LIGO, Laser InterferometerGravitational-Wave Observatory）宣布验证了引力波。引力波是爱因斯坦一百年前通过逻辑思维想象并推导出来的。经过一百年的科技发展，人类终于有能力来验证它了，实在是可喜可贺。伽利略的望远镜拓宽了人们观测天空的视野，引力波的验证给我们打开了研究宇宙的新窗口。这是人类科学历史上重要的一天，全世界都为此而激动。各国媒体都予以广泛报导。中国媒体也不落后，除了新闻报导，还有不少人写科普文章介绍引力波，广为宣传。



如果新闻到此为止，普天同庆，皆大欢喜。但是，有好事者认为这个独立事件八卦性不够，硬是把这个新闻与五年前的一个电视节目联系在一起了。因为那个节目中的主角在谈话中偶尔提到了引力波这个词。这节目本来与引力波的发现没有丝毫关系，现在不但通过一个单词联系了起来，更因为这个节目的一些有争议的行事方法，在网上引起一个不小的风波，进而引出一段与数学有关的故事。我们就来谈一谈这个风波的来龙去脉，顺便欣赏一下相关的数学问题。

先从事件中心这个节目说起。这节目叫[非你莫属]，据说是让“能人”到节目上讲他们的能力或理论，希望找到工作或投资。那天的节目请了一个叫郭英森的人。这郭大哥一上来就反爱因斯坦，讲什么超光速，长生不老。还说他的发明可以得几个诺贝尔奖。明眼人一看就知道此人已经走火入魔。有嘉宾告诉他如果真认为自己这些发明正确，可以把它们写成专业论文投到学术杂志上。还有嘉宾劝他，把这些当成业余爱好可以，但不要影响生活。还有嘉宾直接就对主持人说，这人病得不清，救人要紧。按说这些话本身并没有错，但因为嘉宾们心里清楚这郭大哥根本就是在胡说，言语间就有一些嘲讽的口气。这郭大哥在解释自己理论的时候说自己这套理论不同于牛顿力学，依据的是引力波。就是这么偶尔的一提，没想到五年后引力波这个词红起来了。于是这视频被好事者挖出来，并配上一个唯恐天下不乱的标题“工人提引力波遭嘲讽”。网上便因此炸开了锅，许多评论都说嘉宾不尊重科学，打压创造。要允许有梦想。

从视频看，当时的场面比较尴尬。台上有好几个嘉宾很清楚这郭大哥说的东西与科学背道而驰。任其在台上宣扬伪科学不好，与他辩理理更不行，因为他用的是不同的逻辑体系。实际上他用的许多单词，比如“引力波”，他自己都不清楚是怎么回事。用劝说的口气又有欺负病人之嫌。归根到底其实是节目组的错，把这样的人请到台上就是存心让他上去出洋相。

把这个视频挖出来，并采用“工人提引力波遭嘲讽”这样的标题，明显就是想挑事。抛开这个烂节目不说，有人要挑事，竟然就真的能挑起来，这是比较可悲的地方。相当一部分读者对这些人有天生的同情心，觉得他们已经很努力了，应该给他们话语权。要允许人有梦想。这些人由于自身科学素质低，不知道现代科学发展到今天，积累了许多前人研究的结果。要想对其有新的突破，必须先系统地学习前人的结果。不愿系统地学习，而是异想天开地搞什么永动机，长生不老，企图一鸣惊人。这不能叫梦想，只能叫妄想。

社会上这样的人还不是一个两个，各地都有。有人把这些不愿意一步一步地努力学习，却总想一鸣惊人，语不惊人死不休的人称为民科。比“民间科学家”这个词义要多一层“妄想者”的成分。真正搞科研的人都不去理会民科，但他们却总有一定的市场。民科在社会上能够得到一些人的同情甚至认可和支持，归咎起来，是因为大众的平均科学素质不高，愿意相信神话。所以，要根除这些民科的生存土壤，最根本的方法就是提高民众的整体科学素质。当然，也与一些媒体的推波助澜有关。所以，媒体需要科学素质高的人来把关，也是相当重要的一个环节。比如这个【非你莫属】节目本身就很成问题。让一帮娱乐明星去判定“科学”的东西实在太搞笑。有些嘉宾懂科学，不是娱乐明星，但把他们与娱乐明星混到一起，也很难扭转形势，因为那根本就不是一个辩理的地方。

网上很多人都受蒙蔽，真以为这个郭大哥新提出了什么“引力波”或在理论中用到引力波。实际上这郭大哥只是用了一下这个单词，根据他在节目中的表现，我估计他基本不懂引力波是怎么一回事。许多人认为他真有什么伟大理论，有望得诺贝尔奖。于是嘉宾们落了一个打压有才之士的罪名，比窦娥还冤。

支持民科的一个常见的观点是，爱因斯坦可以推翻牛顿，为什么我们不可以再推翻爱因斯坦？首先，爱因斯坦没有推翻牛顿，他只是把它做了“扩展”。牛顿力学在日常中还是成立的。其次，要推翻爱因斯坦，你得先把它搞清楚，还必须说明它如果不对，为什么有那么多验证？不能一上来就超光速什么的吓人。

当然，并不是所有人都支持民科的。科学素养高的人都能够清楚的认识到民科的本质。民科不只是中国的特色，英国有，美国也有，世界各地都有。著名数学科普作家马丁.加德纳还专门为民科归纳了一些特点，比如：自认是天才，觉得自己受到迫害，专门做大问题，推翻现有理论。最近还有美国加州的一个数学教授为民科列了一个指数打分系统。什么样的情况给多少分：提及“爱因斯坦”，“霍金”，“费曼”，加5分；认为自己应该拿诺贝尔奖，加20分；自比伽利略，声称自己正受到现代文明的审判，加40分等等。按照这个打分系统，前面提到的郭大哥的民科指数远超100分。民科的一个常用术语是：我的理论不需要数学。

更搞笑的是，在“我的理论不需要数学”的众多民科之中，数学民科占相当大的比例。这些数学民科一般都号称解决了古老难题，世纪猜想，比如费尔马大定理，哥德巴赫猜想等等。通常，这些古老难题叙述起来比较简单，使一些人认为解起来也简单。几十年前我在中科院数学所读研究生，那里每年都要收到许多这些猜想的证明，数量之多，用麻袋来装。所里有一个不是数学家的业务干部经常处理这些民科证明。久而久之，他也很熟练了。“你看，这一行，这个A根本就不是素数嘛”。于是有人告到中央说此人专门压制民间数学家。

新浪微博有人收集了一些在中国比较著名的民科。有搞永动机的（后来发现使用前需要上发条），有搞长生不老的，有用太极八卦搞空气动力学的，有搞量子佛学的，等等等等，欢乐无穷。其中有一个搞数学的，我们要拿出来专门提一提，这篇文章的题目就因他而起。

这个民科数学家有一个猜想，叫“三江方土猜想”，说是调和级数收敛。原因是他苦算20年，级数和增长不大，并断言总和不会大于400。看到这“苦算20年”我真的有心痛的感觉。调和级数就是∑1/n，从n=1到无穷求和。这个级数发散是数学系一年级就会学到的。庄子曰“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已”。此人真的是把“有涯”的生命浪费在逐项求和一个被证明为“无涯”的级数上，明眼人能不心痛吗？古人云“听君一席话，胜读十年书”。这个人只要与数学系的明白人谈一下，节约的不是十年，而是二十年时间。当然，前提是他要愿意听。

从事实看来他是不愿听的了。前面说了，民科之所以有市场，是因为大众整体科学素质不高。我们这里就来为提高大众整体科学素质而努力，普及一下调和级数。

如果学过微积分，很容易知道调和级数近似于1/x的积分，与ln(x)就差一个常数γ。ln(x)可以任意大，所以调和级数发散。不过，这个数增长很慢。要涨到400，需要x=e400。 这个数有173位数，别说20年，他即使像愚公那样祖祖孙孙算下去也不够。

即使不用微积分，调和级数发散的结论也有简单证明。下面给出一个：

对任意k，考虑级数中从2k-1+1到2k各项之和。比如k=2对应{1/3,1/4}, k=3 对应{1/5,1/6,1/7,1/8}等等。这里每一项都比最后一项1/2k 大。总共有2k-1项，所以其和大于2k-1 x 1/2k = 1/2 。每增加一个k，就增加1/2， 所以这个级数会无限增长下去。

顺便说一下，网上有人看到此人花了20年证明调和级数不会大于400，说他应该写程序来算，很容易就超过400了。实际上，如果没有数学思维，简单地写程序硬加也是不行的。调和级数增长与对数一样慢。全世界的计算机一起一项一项地加，加到宇宙末日也不够400。所以，数学思维很重要。

因为是自然数的倒数求和，调和级数在很多题目中自然出现。我们就用一道与调和级数有关的很经典的题目来为这篇文章收尾。

【趣题】：一根一米长的橡皮筋一端系在墙上，另一端系在马车上。一个小虫从墙端沿橡皮筋向马车爬，每秒爬一厘米。马车每秒前行一米，橡皮筋被均匀拉长一米。假设橡皮筋可以被无限拉长，问小虫最后能否爬到马车上？



这个问题被称为虫与橡皮筋悖论。实际上这不是什么悖论，真正的悖论必须是从不同的角度或观点看问题得出相悖的结论。这个题目只不过结果与直观想象不一样。没有悖的地方。

直观上马走得比小虫快，所以小虫永远赶不上马车。但因为橡皮筋延长的时候，小虫走过那部分也相应地延长，最后结果是小虫能够赶上马车。要具体证明这个结论就必须用到调和级数。下面我们就来证明一下。

【解】：先考虑比较简单的情况：离散拉长。小虫先爬一厘米，橡皮筋再拉长一米。在这种情况下，小虫第一秒爬行全长1/100；橡皮筋被拉长一米，就是原来的一倍。拉长后小虫爬过的那一厘米变成2厘米，还是全长的1/100。第二秒爬行一厘米，占全长的1/200，因此时全长两百厘米，橡皮筋再被拉长一米，占全长1/200那一节也被成比例的拉长，还是全长的1/200。以此类推，第N秒爬行全长1/（100N），所以，总爬行占全长的比例是调和级数的1/100。当此级数加到100时，小虫就赶上马车了。因为调和级数发散，此级数总有加到100的时候，所以我们说，小虫最后能赶上马车。至于这个最后是多久，下面再讨论。

接着再来看比较复杂一点的情况：连续拉长。小虫爬行与马车前行同时。橡皮筋拉长与小虫爬行同时进行。这种情况就要解微分方程。假设小虫离墙的距离是y。小虫的速度dy/dt就是小虫本身的爬行速度再加上橡皮拉长时小虫所处位置的拉长速度。如果我们以厘米与秒为单位，小虫本身的速度是1. 马车每秒前行100厘米，橡皮筋总长拉长速度是100。其它地方的速度与所在位置成比例。t秒钟时橡皮筋总长度是100+100*t; 小虫位置y占总长比例y/(100+100t)。所以，按比例，小虫处橡皮筋拉长速度是100y/(100+100t) = y/(1+t)。加在一起，我们得到微分方程加上初始条件t=0时y=0; 我们可以解出此方程的解析解：y = (1+t)*log(1+t) ; 因为橡皮筋总长是100(1+t), 所以，当log(1+t) 大于100时，小虫就赶上马车了。

这个结果与离散的情况略有不同，但数量级是一样的。所以我们现在只从连续情况来看这最后时间是多长。log(1+t) 等于100就是t = e100 – 1秒，大约等于8.5x1035年。太阳系大约还有5x109年的寿命。那个时间比太阳系的寿命还要长得多得多，可以视为无穷大。

这题目初看起来人造味太浓，哪里能有这么能拉的橡皮筋，小虫与马也活不了那么久。数学题目嘛，主要是从理论上来探讨。如果真要找实例，我们现在这个宇宙就有点这个味道。大家知道，宇宙大爆炸以后，一直在不断地膨胀，人类发出去的探测飞船就好像这个小虫。与马拉车不同的是，宇宙的膨胀不是匀速的，越是边缘的地方越长地快。很多星系即使用光速我们也追不上了。

数学不受光速限制，物理上追不上的东西，数学上可以作理论探讨。比如调和级数，用最快的计算机逐项加，加到宇宙末日也加不到400。但有了数学思想和方法，我们却能证明它发散，做到以有涯随无涯。这就是数学思想的力量。我们用一句名言来结束这篇文章

Mathematics is able to go where no man will ever go, in either time or space.

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此文经由万金油先生授权，转载自他的公众号“万精油”。原文链接为 http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxNDUzMDgwNg==&mid=2651900969&idx=1&sn=24ce76fbc08a63f765ff0d618db3b6b4&scene=4#wechat_redirect凡物皆可观可乐, 长按二维码加入我们的精彩世界

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