【数学&专题】平行四边形之辅助线添加方法！
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。...
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法！
---迎春老师
一、 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1
、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.
所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，
所以A0//ED，AO=ED,
所以四边形AODE是平行四边形，
所以AD与OE互相平分.
说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.
2．利用两组对边平行构造平行四边形
例2、 如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.
3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
二、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
例4
、如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.
根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE，求AD平分CE。
证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，
得△ACE是等腰三角形，
因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，
因为EF//CD，所以∠1=∠2，
又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，
所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.
例5、如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.
（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.
三、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
例6、过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=1/2∠AEB.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，
又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，
所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=1/2AC，
因为AE=AC，所以∠AEH=30°，
因为BE//AC，AE//CF，
所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，
因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，
所以∠BCF=15°，
所以∠BCF=1/2∠AEB.
说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.
欢迎添加【迎春老师】个人微信，更多疑惑可单独沟通！
关注 迎春老师
微信扫一扫关注公众号
