一课研究之"您了解乘法口诀的历史演变吗?"

乘法口诀早在春秋战国时期就开始应用，至今已有两千多年历史，它在我国乃至世界文化史上都占有重要地位。乘法口诀在国内的演变历史是怎样的？一开始就叫乘法口诀吗？乘法口诀最早起源于何时？每个时期的口诀有什么特点？又有哪些一脉相承的地方？...

向你介绍我谁

本期内容有哪些

轻轻松松听听书



坚持阅读8分钟九九表，古称九九歌、九因歌、九九数，也有称九九术的，因从“九九八十一”开始而得名。古代的九九表不叫乘法口诀，更不叫大九九、小九九，其含义与现今也有所区别。

据文献记载，九九表最先出现于我国的春秋战国时期。《韩诗外传》就记载“齐国东野鄙人向齐桓公进九九之术”的故事。目前，另一有利证据是出土于湖南省湘西土家族苗族自治州龙山县的里耶秦简九九表。此九九表有些特别，木牍上共刻有38句，从“九九八十一”开始，到“二二而四”止已有36句，但是还多出“一一而二”、“二半而一”这2句。“一一而二”相当于现在的“1+1=2”，属于加法运算；“二半而一”相当于现在的“1/2+1/2=1”，属于分数运算。里耶秦简九九表缺少“一九而九”到“一一而一”这9句。此表末记有“凡千一百一十三字”，这句话的意思就是将九九表里每句口诀的得数相加，即“81+72+63+……+4+2+1”得到1113。如果换成现在乘法口诀判断标准，此九九表的最后得数1113应该再减去“一一而二”及“二半而一”的得数，最后结果应该是1110，所以古代的九九表之含义跟现今标准是有区别的。查看资料发现，秦汉简牍，除了里耶秦简九九表表末有这句话外，两汉时期的敦煌汉简九九表中也有同类语句：“大凡千一百一十三”。这“凡”、“大凡”都表示“总”的意思，以此类推，敦煌汉简也应该是上述这38句。

直到内蒙古自治区额济纳旗东发现的居延汉简九九表，都是始于“九九八十一”，但不止于“二二而四”，而止于“一二而二”、“一一而一”。不过后来发现的居延新简，有两种版本：一种始于“九九八十一”，止于“二二而四”共36句；另一种始于“九九八十一”，止于“一二而二”共37句。

通过以上出土的秦汉简牍所记九九表，我们发现：（1）这些九九表总体来说都具有较稳定的顺序和内容，如都始于“九九八十一”，都有“九九八十一”到“二二而四”这36句；（2）第一个乘数都不大于第二个乘数，第一个乘数逐渐变小到一、二为止。（3）九九表的标准与现今乘法口诀标准相似但不完全一样，所以导致句数、句型不完全一样，如里耶秦简九九表的“一一而二”、“二半而一”。纸卷九九表与简牍九九表有什么区别？

由于两汉时期发明造纸术，简牍逐渐被纸卷所取代。我国现存最早的纸卷九九表是南北朝时期的《孙子算经》。它在秦汉简牍“九九八十一”到“二二而四”这36句的基础上，又多加了“一九而九”到“一一而一”这9句，总共45句，最后得数之和变成1113-3+45=1155。故末云：“有从九九至一一，总成一千一百五十五。”而且在文字描述上也做了一些调整，在秦汉简牍中得数为一位数的一般都呼为“而”字，从《孙子算经》开始则改为“如”，即“一九如九”、“二三如六”等，不过“而”或“如”其含义都相当于现在的“得”，即“等于”的意思。

到唐朝、五代的敦煌算经九九表，则又同时出现了45句和36句两种版本。前者九九表与《孙子算经》一样，后者则缺少“一九如九”到“一一如一”9句。

上述不管是简牍版的还是纸卷版的九九表，都是以“九九八十一”开始的，直到宋元以后，顺序才颠倒过来，从“一一如一”开始至“九九八十一”结束。而且这个时期九九表存在两形式：一种是保持45句不变；另一种是将句数再次扩充，增至81句。笔者认为，正因为两种九九表形式同时存在过，后来为了便于区分，就有了“大九九”和“小九九”的不同称呼。45句九九表当时存在两种形式，第一种贾亨《算法全能集》上的排法：第二种朱世杰《算学启蒙》上的排法：这两种排法，以后者流传最广，大概由于程大位在《算法统宗》上强调“呼小数在上，大数在下”，直至今日小学数学课本中绝大部分都采用朱氏排法。

现代数学教材版本，除了个别省份特定年份版本外，基本都采用“小九九”的形式编排，虽然有些版本保持“大九九”的结构，但是实质上仍是“小九九”。因为虽然每个数的口诀都有9句，但是每一句口诀第一个乘数都不大于第二个乘数，所以这其实是“伪大九九”乘法口诀，一般地我们还是统称为“小九九”。现在的乘法口诀跟朱氏的编排基本差不多，只不过是改了一些措辞罢了，比如“一一如一”改成“一一零一”之类的。

趣味话题

    关注 一课研究