点阵，玩在所有面积公式之前

趣味数学入门课...



新的一年，从阴影面积……不，从阴影面积里如何去除阴影开始！

物体的表面或围成的平面图形的大小，曰面积。此定义在人教版数学教材中，出现在小学三年级。

常用词汇，其实想形容清楚并不容易，重要的还是感性认识。举了一系列生活实例之后，细究于各种面积单位之前，点阵是一个能够发挥关键作用的绝佳工具。

最基本的出发点：点阵中最小的正方形，面积为1（注意此时原则上还没有学习任何面积单位），或者按照学术性的说法——“单位1”。

第一个课题：画两个面积为4的长方形，形状不可以相同。

这个事情应该不难做到，成果大致如下图所示。



其间一定会有人因为觉得正方形并不是长方形而排斥右图。关于这个坑爹的问题，将在日后的文章专门分析。

不过，如果有人未经任何提示，为了不画出正方形而处心积虑地画出了下图……



那么这是个小天才，以下教学环节基本可以胜任助教之职。

第二个课题：画两个面积为2的三角形，形状不可以相同。

经过片刻思考，应该会有一部分同学自行将刚才的长方形沿对角线一刀劈开：



能马上画出来的应该是具有不错的探索能力，那么是不是只有这两种呢？可以要求他们再多画出几种，顺便等等反应慢的童鞋。

这个门槛比之前的略大，但也应该有个别人能自己研究出来。讲解嘛，切开，两边都是黑白各半，反应慢的童鞋大多也能理解。

下面，没有长方形作为参考了：请直接画出面积为3的三角形，尽可能多画几种。

正常情况下，完成这个任务的同学应该能达到一半。先想好一个面积为6的长方形，然后取半。



至此，我们已经从“单位1”向前拓展到了任意长方形，以及显然可以视作它们面积一半的平稳三角形，在后续研究中，这些基本认知将大派用场。

再回到最简单的情况：请画出面积为1的三角形，尽可能多来几种。

根据之前的研究成果，画出下面两种并不困难。



那么到底能画出多少种呢？很多同学会坚定地认为只有上面这两种，然而……



这样的形状可以通过减法来算出它们的面积，整体是基本图形，灰色阴影也是基本图形。所以，具体能画出多少种，取决于我给你的点点是不是足够多。



注意，这个阶段如果留作业，我多次在交回来的作业本上看到家长标注的“底×高÷2”的字样。显然，他们的辅导有点跑偏，请不要这样做。

没有公式的牵绊，会更有利于他们在加减组合上不断追求。而且，画三角形的高，这事儿正常情况下要再过一阵子他们才会接触到，并颇费周章。

当你在点阵中随意画一个姿态歪斜的三角形：



通过前面的学习，很多同学会下意识地觉得这个还是外框长方形的一半，这需要耐心指出区别。另外，脑子里只有“底×高÷2”的同学，这时也将束手无策。

思路上，和“倾斜的钝角三角形”一样，这个图形也可用“基本图形减去基本图形”的方式计算出来。



外框长方形是6，三个边角料分别是1、1、和1.5，所以，红色三角形的面积就是：

6－1－1－1.5＝2.5

好了，理论上他们现在已经可以计算出点阵图上任意直线形的面积了，只要顶点都在事先点好的点上即可。再扯大一点练习一下：



多加几条边？减法用惯了，别忘了加法有时更加直观：



比如这个图形，外剪或内拼，都很方便。

请画出面积为6的四边形，不可以是长方形。

这个时候，大部分同学会采用误打误撞的方式，面积和边数两个条件往往不能一起满足。

这里要落实的重要思路就在于，当有两个条件要满足时，先紧紧抓住一个不松手，再去凑另一个。比如，先画一个面积为6的长方形，然后想想怎样才能保持面积不变，让它变得不是长方形呢？



一定会有人知道，这是个梯形。虽然并不是所有的梯形他们都能认识。

当然，还有平行四边形：



另一种思路是，先想好形状，比如3＋3＝6，再用两个刚才画过的三角形拼成一个四边形：



到了初中，这玩意儿叫做“控制变量法”。

家庭作业是：画三个面积为5的五边形。

第二天，我欣喜地看到了这样的清晰思路：



当然，还是难免有大量的同学对误打误撞的方式甚为留恋。

最后，随着边数的增加，自由度和艺术性也在大大提升。

这个阶段，最后一项是面积为8的八边形，附加条件是，你得让我看出你画的是个啥东西。也就是说，先想好八边形到底能画个啥，再去凑面积。

经过一番引导，我收到了这样的成果：



还有这个星星（稍改改，能不能变成轴对称的四角星？）：



比较吃力的，画了这个，而且他画的时候并没有想好这是个啥：



“嗯，像个锤子。”我打算顺势帮他交个差。

不过，他好像并不知道什么是锤子……

根据学生的情况差异，整个过程大概可以持续三到五个课时。其间你会发现他们有很多误区需要引导纠正，许多脑洞需要一一捅开，此处不再赘述。

事情就此告一段落。不过两年之后，点阵画图还有第二波大用场。

咏鹏，一个全科教师，微辣班主任。写过两本不搭界的书，一本是评判奥数的，一本是关于足球的。

本文转载自咏鹏的个人公众号“甘棠益咏”，ID：Edu_YY

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