胡翌霖数与量的区分_【科学的历程】

毕达哥拉斯的数学是研究什么的呢？就是研究“数”，但数究竟是什么呢？我们说“一二三四五”是数，三岁小孩就懂得“数数”了，但人们数数的时候数的究竟是什么呢？...

作者胡翌霖 (清华大学助理教授)

责编许嘉芩刘愈

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毕达哥拉斯的数学是研究什么的呢？就是研究“数”，但数究竟是什么呢？我们说“一二三四五”是数，三岁小孩就懂得“数数”了，但人们数数的时候数的究竟是什么呢？

原始人数的可能是牛羊，或者手指、石头、刻痕、竹签等等，在古代人那里，数总是什么东西的数。计数活动蕴含着对事物本性的把握。首先，能被计数的东西总是属于同一类的，其次，被计数的东西又是相互独立可以区分的。比如我们数一只羊、两只羊，这一数数活动就已经蕴含了对“羊”这一个种类的把握，也蕴含了对依次不同的每一只羊的分辨。如果能把羊和牛放在一起数，那是因为它们共属于一个大类，比如牲畜或动物。总之，计数活动的前提是对“单元”的把握，某种单元就是从属于某个种类的可以彼此分别的东西。

那么作为一般学问的数学，计数的又是什么东西呢？毕达哥拉斯学派认为，数学研究的对象是纯粹的单元，这种单元不止可以用于牛、羊，它适用于宇宙的万事万物，因此毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的口号，把数学提到了某种本体论或宇宙论的位置。

而“量”和“数”不同，量涉及的行为是度量而不是计数。量把握的是事物的大小而非多少。在毕达哥拉斯学派的早期，关于量的几何学的地位低于关于数的算术（或者更恰当地称之为数论）。尽管毕达哥拉斯学派会讨论“有形状的数”（例如三角形数、正方形数等，如图1），但一般而言，对数的把握不需要借助外在的感官，而对量或者对大小的把握则需要感官的介入。

基于万物皆数的信条，毕达哥拉斯学派认为量的问题也能归结为数的问题，有形状的数就是一种例子。

▲图1 有形状的数

把数学分为四科的传统可能也是从毕达哥拉斯学派开始的，分别是算术（研究静止的数）、几何（静止的量）、天文（运动的量）、音乐（运动的数）。

毕达哥拉斯还赋予了数以各种属性，比如3代表和谐，4代表正义，5代表婚姻，而10代表完美等等。这不是一种单纯的比喻意义，因为“万物皆数”，把握了数就是把握了万物的奥秘。

之所以音乐也被毕达哥拉斯学派归入了数学的范畴（图2），因为他们发现当琴弦弹出和谐音时，弦长之间总是呈整数比，音乐的奥秘藏在数的比例之中。毕达哥拉斯学派相信宇宙是和谐的，而数学正是揭示万物之和谐的学问。我们在开普勒那里仍然能看到这一传统的影响。

▲图2 一组中世纪木刻，描绘毕达哥拉斯研究各种乐器。

【本文摘自《过时的智慧——科学通史十五讲》第十一讲抽象抽象：数学革命，上海教育出版社，2016年7月出版。】

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