几个有趣的奇函数

今天内容太干了，自备饮料吧....



微信朋友圈有童鞋问到了2013年辽宁高考文科数学第7题.



这是一道有研究价值的小题.如果我们采用直接代入的方法，当然能够解题，但是运算较繁琐.

为了讲一个简化运算的小规律，我们先看这样一个函数.



这个函数是奇函数吗？

我们先研究函数的定义域，x取全体实数，也就是说，函数的定义域关于原点对称，具备研究奇偶性的资格.

然后我们计算f(-x),再研究f(x)与f（-x）的关系.



由上面的推理过程看出，函数为奇函数.

这是一个我们平时不太注意的奇函数.

• 底数能否替换？

分析上述推导过程，发现结论与底数的取值是无关的，所以底数是可以替换为任意大于0且不等于1的实数的.

这个奇函数可推广为：

• 根号下的常数1能否替换？

不能.

因为如果这个1替换成其他常数，最后结果中的真数不是1，则对数不是0，即f(x)+f(-x)不等于0，无法得出奇函数的结论.

• 根号与一次之间的连接号能否由“-”号改为“+”号？

可以.

因为当f(x)解析式中为“+”号时，相应地，f(-x)解析式中为“-”号，不影响f(x)+f(-x）的结果.

所以，这个奇函数可进一步推广为

• x前面的系数能否调整？

为确保运算结果中对数的真数为1，x的系数与x平方的系数要同步调整.

这个奇函数可推广为

再来看这道辽宁高考题中的函数.



这个函数是奇函数吗？

根据刚才的结论，对数部分是奇函数，可是后面还加上了一个1,显然它不是奇函数.

但是，这样的由奇函数和常数构成的新函数有很多好用的性质.下面作一个一般性的研究.



利用这个结论，本题就可以秒解了.



我们还可以进一步拓展结论.

看栗子2.



分析:函数由一个对数加常数构成.

这个对数部分是不是奇函数呢？



下面作推广研究，如果我们变换底数、真数、加减号的位置，g(x)是否依然为奇函数？

• 底数能否替换？

可以.

从上述推理过程中，我们能看到，运算结果与底数无关.

• 真数部分的分子、分母部分都为一次式，如果同时改变一次项系数和常数项，这个函数是否依然是奇函数？

• 真数部分的分子、分母加减号互换，g(x)依然是奇函数吗？

从推理过程来看，加减号互换不影响结果.

由此，我们得出另外一个与对数有关的奇函数.



回到栗子2.

既然f(x)=奇函数+常数，我们可以采用刚才的小结论实现秒杀的效果.



小结：

1.两类不太常见的与对数相关的奇函数的一般形式；

2.“奇函数+常数”型函数的几条实用的结论；3.研究数学结论时，养成一般化推广的习惯.

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