证明两等数列的无脑解法

证明一个复杂数列为等比数列，你的思路是什么？变形？化简？还是毫无头绪？其实，这是有套路的，本文教你的是无脑解法....



解释一下，标题中的“两等数列”，指的是等差数列或者等比数列.为便于称呼，所以取了这个简洁的名字.

我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列.比如下面这道题.

从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列.

这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可.



使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入.

道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数.

根据条件中给定的关系式，代入上式.

结果还真是一个常数，神奇吗？

其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心.

下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式.

请自觉做题3分钟.不要往下看.

分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它.



通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识.

不管怎样，还是采用定义法来证明.



还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入.

注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来.



咦！结果又是一个常数.

废话，要不是常数，那就是题目出错了.

正所谓：定义法来真好用，证明等比显奇功.

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