【先生技巧】数学教学设计：从“实体”走向“精神实体”

数学教育家弗莱登塔尔曾指出：数学教学目标一个叫精神实体，一个叫实体。比如，公约数就是一个实体。...







数学教育家弗莱登塔尔曾指出：数学教学目标一个叫精神实体，一个叫实体。比如，公约数就是一个实体。公约数还有一个精神实体，即：公约数是什么?为什么要学习公约数?公约数在哪里?公约数怎么表现?要把这些问题弄明白，就必须从为什么开始研究。像这样，一步一步走向抽象知识的过程，叫做精神实体。弗莱登塔尔认为，在数学教育中，掌握精神实体比掌握实体更重要。

数年前，执教苏教修订版五年级下册的“最大公约数”这一内容时，我发现，教材上直接出示了短除法的式子，然后介绍了用分解质因数的方法求最大公约数。当时，我想，如果就这样告知学生求最大公约数的方法，学生固然能掌握求最大公约数的技能，但这么做似乎缺少了什么。学生可能会心存疑问：为什么要用这种方法求最大公约数呢?这其中的根源是什么呢?我突然联想到弗莱登塔尔的观点。最大公约数其实就是一个实体，怎样让学生感受到它的精神实体呢?

带着这样的思考，我着手重新设计教学，力争带领学生探寻最大公约数的精神实体，大致的教学环节如下：

先让学生用罗列法，求出12和30的最大公约数，学生的做法如下：

12的约数：1、2、3、4、6、12。

30的约数：1、2、3、5、6、10、15、30。

12和30的公约数：1、2、3、6。

12和30的最大公约数：6。

当学生找到了正确答案之后，我又让学生把12和30分别分解质因数，也即让学生分别写出短除法的式子，并得出等式：

12=2×2×3

30=2×3×5

我提问：12的质因数是哪些数?30的质因数呢?它们公有的质因数又是几呢?

接着，我让学生大胆猜测，两个数的最大公约数跟它们的公有质因数有什么关系呢?学生凭借着实例，猜出了两个数的最大公约数就等于它们的公有质因数乘积。我肯定了学生的想法。但并没有就此作罢，而是追问道：“那么，这个猜想是不是具有普遍性呢?”我让学生自己举例验证这个猜测。学生通过举例验证，最终发现刚才的猜测是正确的。

在此基础上，我才开始教学用短除法求两个数的最大公约数，即把上面两个单独的分解质因数的短除式合并起来，从而形成了书上那种短除式。

在教学两个数的短除式时，我着重让学生说每一步的含义，让学生明白要用公有质因数去除，一直除到商是互质数为止，最后再把所有的除数相乘，也就是把所有的共有质因数相乘。

事实上，从本质上说，求最大公约数就是要把几个数的公有质因数相乘，短除法只是一种形式，它采用的仍然是分解质因数的方法。学生在掌握知识的同时，如果还能了解知识的内在含义和来龙去脉，就更能使他们感受到数学独特的魅力。

数学家莱布尼兹曾说过：“没有什么比看到发明的源泉更重要的了。就我看来，它比发明本身更有趣。”在数学教学中，教师要尽可能还原出知识的精神实体，让学生感觉到这些知识并非凭空而降，而是通过自主探索就能呈现在眼前。如果真正从“实体”走向“精神实体”，就能给学生埋下发现的种子，经过长期的积淀，学生的创新意识和创造能力就会得到长足发展。

(江苏省张家港市云盘小学　赵红婷)

    关注 沈师好先生