数学公式柏拉图

【儿童节礼物】爱的公式与终极真理

数学与爱有什么关系呢？数学能够指引我们到什么样的地方呢？可能孩子们还看不懂本文提到的数学公式,也无从说起它的美，但数学带来的逻辑、量化、因果，将是他们受用一生的礼物。大数据文摘在儿童节推出儿童节数学特辑，希望为孩子们带来一个更美的数学世界。...

诗人诺玛·法贝尔（Norma Farber）给我们留下了一句很美妙的诗：

不要让我在爱河里懈怠……

让我一次又一次地“触电”。

数学就是让我们“一次又一次地触电”的东西，原因在于数学具有某种精神力量。而在儿童节，我们给孩子们最好的礼物，不正应该是爱吗？

数学与爱有什么关系呢？数学能够指引我们到什么样的地方呢？可能孩子们还看不懂本文提到的数学公式，也无从说起它的美，但是数学带来的逻辑、量化、因果概念，将是他们受用一生的礼物。大数据文摘在儿童节这天推出儿童节数学特辑，为您推送这篇《爱与数学》的节选，希望为孩子们带来一个更美的数学世界。

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亨利·戴维·梭罗说过一句很妙的话：

“对于任何真理，如果想要用最明确、最优美的语句来表述它，就得借助数学语言。我们有可能对算术规则乃至道德哲学规则进行简化，用一个数学公式同时表示这两种内容。”

即使数学公式并不足以表现世间万物，但总的来说，数学公式仍然是表现人类已知真理的最纯粹、适用面最广也是最经济的表达方式。它们不会人云亦云，而是忠实地向所有人传递永恒、珍贵的知识，而且，它们是一座座巍峨挺拔的现实之塔，所表达的都是人类必需的真理，引导着人类走过时空的征程。

亨利希·赫兹（Heinrich Hertz）对数学公式充满了敬畏：“人们会情不自禁地认为这些数学公式是一种独立的存在，拥有灵性，比人类聪明，甚至比建立这些公式的人聪明。”赫兹证明了电磁波的存在，因此人们用他的名字来命名频率单位。

有这种感受的人远不止赫兹一人，数学界的大多数人都认为数学公式与数学思想存在于一个独立的世界之中。罗伯特·朗兰兹认为数学“常常以暗示的形式悄然而至，这说明数学的全部内容（而不仅仅是其中的基本概念）都独立于我们之外而存在。这样的认识很难理解，但是，如果专业数学研究者没有形成这种认识，就会寸步难行”。著名数学家尤里·曼宁（德林费尔德的导师）也有类似的感受，他说：“虔诚谦恭、痴心不改的数学家发现（而不是创造），在柏拉图所谓的“思想世界”的某个地方，巍然矗立着一座气势雄伟的数学城堡。”

从这个意义上讲，伽罗瓦群是由这位法国天才发现的，而不是由他创建的。在他发现之前，这个概念已经存在于数学这个思想世界的魔幻花园中，等着人们去探索。即使伽罗瓦的那些论文丢失了，即使他没有因为这项发现而获得应有的荣誉，这些群也将会被其他人发现。

在人类辛勤耕耘的其他领域，情况则有所不同。如果乔布斯没有回到苹果公司，我们可能就不会用上iPod（苹果便携式多功能数字多媒体播放器）、iPhone（苹果智能手机）和iPad（苹果平板电脑）。也许苹果公司会完成其他的技术创新，但是我们没有理由期望其他人也能创造出跟乔布斯完全相同的产品。但是，数学真理则不同，它们是一种必然的存在。

希腊哲学家柏拉图首先提出，数学中的一项项内容与我们的理性活动没有任何联系，因此，数学概念与数学思想栖身的这个世界，通常被称为“柏拉图数学世界”。数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在他的专著《通往现实之路》（The Road toReality）中宣称，柏拉图数学世界中的数学命题“都是客观真实的命题。如果人们说某个数学命题存在于柏拉图数学世界中，就意味着该命题是客观真实的。”同理，数学观念也“存在于柏拉图数学世界中，因为它们是客观的”。

同彭罗斯一样，我也认为柏拉图数学世界与物理世界及精神世界有所不同。比如，我们可以想一想费马大定理。彭罗斯在他的书中反问道：“我们会认为在费马提出这个命题之前它就是一个客观真实的命题，还是认为该命题的真实性是个纯粹的文化问题，且取决于数学界的主观标准呢？”借助归谬法这个经受住了时间考验的传统证明工具，彭罗斯指出，如果引入主观解读，就会导致大量“明显荒谬”的命题，以此强调数学知识是独立于人类所有活动之外的客观存在。

库尔特·哥德尔直言不讳地赞成这个观点。哥德尔的研究成果，尤其是著名的“哥德尔不完全性定理”（Gödel’s incompleteness theory），从根本上改变了数学的逻辑。他认为数学概念“是客观现实，我们只能认知、描述，但却无法创建或改变这些客观现实”。换言之，“数学描述的是非感官现实，是一种独立存在，与人类的意识与意向无关。人类的意识只能认知这种非感官现实，而且这种认知有可能很不全面”。

罗杰·彭罗斯在其著作《意识的阴影》（Shadows of the Mind）中讨论了物理世界、精神世界与柏拉图数学世界三者之间的关系。这三个世界彼此独立，但又紧密地交织在一起。我们仍然无法彻底了解它们之间的联系，但显而易见的是，这三个世界都会对我们的生活产生深远的影响。不过，尽管我们已经认识到物理世界与精神世界对人类的重要意义，但仍有很多人根本不了解数学世界（对他们来说，这未尝不是一件幸事）。我相信，等到我们对这个隐藏的现实有所认识，并发掘出其尘封多年的能力时，产业革命留给我们这个社会的既定秩序就会发生改变。

在我看来，数学知识的客观性是产生无限可能的源泉，也是区别于人类其他行为的根本特性。我觉得，了解这个特性背后的秘密，有助于我们彻底了解物理现实、意识及两者之间的相互关系。换句话说，我们越接近柏拉图数学世界，我们了解周围世界以及我们在这个世界中所处位置的能力就越强。

值得庆幸的是，我们深入了解柏拉图数学世界，并在生活中对其加以应用的进程是不可阻挡的，其中一个非常重要的原因就是数学的内在民主性。对于物理世界和精神世界而言，不同的人在认知或解读其中的某些内容时可能会得出不同的结论，有的人甚至根本无法理解。但是，所有人对数学概念与方程式的认知都会得出相同的结论，而且数学给予人们的机会是均等的。没有人可以垄断数学知识，人们既不能宣布某个数学公式或数学思想是自己发明的，也不能为某个公式申请专利。比如，爱因斯坦不能为自己提出的公式E=mc2注册专利。原因在于，如果这个公式是正确的，那么它所表示的是宇宙的某个永恒真理，因此不可能私有化，只能由大家共享。无论贫富、肤色与年龄，谁也不能把它从我们手中夺走。在这个世界上，再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了。

我们希望探讨数学知识的道德意义：一个非常重要的公式也有可能会产生负面作用，被居心叵测的人利用。我们以20世纪初的一群理论物理学家为例。这些物理学家一心想了解原子的结构，结果，在一场他们看来纯粹是高尚的科学探索活动中，他们无意间发现了原子能。原子能在为人类做出很多有益贡献的同时，也给人类带来了破坏与死亡。同样，我们在知识求索过程中发现的数学公式也有可能对人类造成伤害。尽管科学家拥有开展科学探索的自由，但是我认为他们也应该承担相应的责任，尽可能地避免自己发现的公式被居心叵测的人利用。

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“爱的公式”到底应该选择哪一个呢？这是一个非常重要的问题。这个公式必须足够复杂（毕竟，这是爱的公式），同时，它还应该具有美感，看到它人们便觉得赏心悦目。我们希望向观众表明，数学公式既有内在美，又有形式美。同时，我还希望选用我自己建立的公式。

经过艰苦的“海选”，我选择了下面这个公式：

该公式选自我和我的两位朋友安德烈·罗瑟夫（Andrey Losev）、尼基塔·涅克拉索夫（Nikita Nekrasov）于2006年合作完成的论文“超越拓扑理论的瞬子第一篇”（Instantons Beyond Topoloical Theory I）。这篇论文长达100页，上述公式是论文中列出的公式（5.7）。

这个公式看上去令人生畏。如果我在电影中把这个公式写到黑板上，并解释其中的含义，那么大部分观众可能会立刻离场。但是，这个公式似乎真的可以触及观众的灵魂，大家都希望了解其中的含义。

这个公式到底有什么含义呢？当时，我们写了一系列论文，讨论借助“瞬子”研究量子场论的新方法，这篇论文是该系列论文的第一篇。瞬子是有显著特点的量子场结构。尽管量子场论可以准确地描述基本粒子间的相互作用，但是无法准确地解释众多重要现象。例如，根据标准模型，质子和中子由三个不可分的夸克构成。在物理学中，这种现象被称为限制作用。但是，其作用原理一直没有合理的解释，很多物理学家相信瞬子是打开这道门的钥匙。不过，在传统的量子场论中，瞬子并不容易理解。

因此，我们提出了一个研究量子场论的新方法，以便更好地理解瞬子的作用。在研究其中一个理论时，我们采用了两种不同的方法去计算它的相关函数。结果，上述公式表明，这两个方法表现出令人吃惊的一致性。当时，我们并不知道这个公式很快就要在电影中扮演“爱的公式”这个角色。

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数学可以被视为爱的语言吗？一些人无法接受“爱的公式”这个概念。有的人对我说：“逻辑与感情有时候会相互排斥，所以我们才会说爱是盲目的。怎么可能有爱的公式呢？”的确，我们经常会觉得情感是不理性的（不过，认知科学家认为，这种非理性的某些方面，其实可以通过数学来描述）。因此，我也认为，我们无法通过公式来描述或解释爱。我讨论爱与数学的联系，并不表示爱可以与数学相提并论，而是要告诉大家数学的内涵远比我们想象的要丰富。至少，数学可以为我们的爱提供理论依据，让我们彼此之间的爱、对周围世界的爱更深刻，也更强烈。

诗人诺玛·法贝尔（Norma Farber）给我们留下了一句很美妙的诗：

不要让我在爱河里懈怠……

让我一次又一次地“触电”。

数学就是让我们“一次又一次地触电”的东西，原因在于数学具有某种精神力量，只不过这种力量隐藏得很深，人们几乎很少使用它。

爱因斯坦说：“每一个认真探索科学知识的人都相信，宇宙的法则中明显包含着某种精神力量，这种精神力量远胜于我们人类拥有的精神力量，在它面前，我们的能力显得十分有限。”牛顿说：“我觉得自己就像一个在海滩上玩耍的孩子，偶尔捡到一块光滑的鹅卵石或一枚美丽的贝壳就乐不可支，但我却没有发现我面前的真理海洋，它正等待着人们去探索与发现。”

我希望有朝一日，我们每个人都能发现隐藏在数学中的这个事实。这样的话，我们就可以把分歧抛在脑后，专心致志地研究可以把我们联系在一起的那些深奥的真理。我们将像在海边玩耍的孩子那样，在发现令人炫目的美、感受到甜蜜温馨的和谐之后惊叹不已，我们也将分享和共同珍藏数学之美。

2012年1月，美国数学学会（AMS）与美国数学协会（MAA）联合年会邀请我去波士顿做2012年度的会议报告。从1896年起，约翰·诺尔曼、陈省身、迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特、罗伯特·朗兰兹、爱德华·威滕等伟大的数学家都曾应邀做过这样的报告。看着这份名单，再看看他们的报告主题，就好像在回顾数学的百年历史。因此，被邀请参加这样一项活动，我既感到荣幸，又深感忐忑不安。

波士顿的会议给我留下了美好回忆。我第一次到达洛根机场是在1989年9月，当时我要去哈佛大学报到。有一部著名的电影叫作“来自俄罗斯的爱情”（FromRussia with Math），不过，我拥有的不是爱情，而是对数学抱有的一片痴情。

我们思考的是真理与美的永恒问题。我们对数学这个神秘的被遗忘的大陆了解得越深入，就越能深刻地体会到我们对它知之甚少，还有更加广阔的空间等待我们去探索。我们前方的征程很漫长，需要我们坚持不懈的努力和持久的热爱。