SUN来自男神的嘲讽：睡前数学读物_【吱吱吱吱YEAH】

来自自称“男神”的T大学霸的祝福：）...

各位周末好呀！

今天的推送是为了兑现之前说的T大男神的稿子。

他说他用了极其普智的语言。

然而我还是没有看下去：）

供各位鉴赏……

祝睡个好觉：）

今天，我们来聊一聊数和运算，这些最基本的数学概念。

这篇文章可以作为您的睡前小读物，因为我们探讨的不是什么复杂的数，也不是任何复杂的运算。同时，相信在您阅读这篇文章的过程中，也不需要进行任何笔头上的操作才能理解。下面，就让我们重新审视一下数和运算的概念。

我们先来回顾一下我们接触过哪些数与运算的概念。

数：自然数、整数、有理数、实数与复数。

运算：加法、减法、乘法、除法，当然还有乘方等等。

那么，我们要问，这些概念你真的理解吗？有些概念你肯定可以解释清楚，譬如乘方，你可以很轻松地用乘法来解释清楚。

举个例子：2的3次方，我们可以用2*2*2来解释。类似地，所有的乘方运算都可以用乘法来“轻松”地定义。

那么别的概念呢？自然数的概念我们如何来定义？加法的概念我们如何来定义？相信说到这里，你可能会发觉遇到了一些困难，这种困难并不是容易解决的。

今天，我们就来解决您遇到的这种困难。让我们来换一种语气，用更加轻松的笔触探讨一下的问题。我们列举一些更加具体的问题。

小时候我常常思考这样的问题：

罗马人定义的数字是 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ；

印度人定义的数字是1、2、3、4、5、6、7、8、9。

凭什么认为这两种定义是等价的，凭什么认为你罗马数字的Ⅰ就是阿拉伯数字的1，凭什么认为罗马数字的这一堆符号和阿拉伯数字的这一堆符号是某些具有相同意义的东西？

而且它们不仅模样不一样，来源也可能不同。也许罗马人是一边搬着石头一边定义了数字，中国人是一边打着绳结一边定义了数字，为什么这两种定义具有相同的意义？

我们在线性代数的课程上学习了矩阵的运算，假设我们有两个n阶方针A和B，我们知道AB与BA在多数情况下是不相等的，或者说方阵之间的乘法运算是不可交换的。学到这里，我们都会停下来质疑，凭什么两个自然数a和b之间的加法和乘法运算是可交换的，我们在任何情况下都有以及a+b＝b+a以及ab＝ba。

在群论中，我们称整数在加法运算下构成群。为什么呢？作为一个群，我们检查了一下很多概念，比如群中存在恒元，说白了就是任何元素和这个恒元做加法运算后都保持不变，我们都知道这个恒元是0。那么问题又来了，凭什么说这个恒元是0而不是1，你这个0凭什么有这种优越感？

好了，现在我们确凿地发现，我们往理解的数学体系，轰然坍塌了。我们要补充一些“公理”，重建我们的数学体系。所谓“公理”，就是“依据人类理性的不证自明的基本事实”，也就是公理是我们“硬钢”出来的，是无需证明的。我们先给出这些公理，再谈一谈为什么公理的概念是如此优越的。放心，我们不会罗列这些公理，如果要这样就不interesting了。所以我们先给出一些粗糙关于自然数的定义，再形象地指出这样的定义存在的问题，再补充公理进行修正。你会逐渐发现，渐渐地我们不是在修改定义了，有公理本身就足够了。我们从自然数谈起。

定义1：自然数是一个集合N中的元素，期中N:= {0,1,2,3…}

问题1：这个定义有一个大问题，就是目前我们是从零开始定义数学概念，所以目前为止我们还没有定义集合和元素的概念，我们不能用集合和元素的概念定义自然数。不过，以后不用便是了。

定义2：自然数是由对象0，1，2，3... 组成

问题2：3以后是什么？你说是4啊。不对，那是因为你心中已经形成了自然数的概念，你知道3后面是4，可是我不知道诶，我什么都不知道，我也可以把3后面的这个东西叫做x，当然也可以叫做t。言外之意，在完全虚无的基础上，我们可以随意将这些省略号里的东西起一个名。进一步，这些自然数的“代号”毫无意义，我们真正没有解决的是按照什么样的“法则”生成这些数。

思考2：我们熟知的运算有加、减、乘、除，我们需要寻求一个最基本的概念最先定义。在自然数系统里，减法和除法是无法定义的，因为我们知道，虽然我们还没有定义这些运算，但是如果我们定义了，那么3-5，3/5都不是在自然数系统里的。此时只留下加法和乘法，而乘法可以非常直观地由加法来定义，比如3*5，可以定义为5+5+5，所以加法比乘法更基本。

然而，加法其实也不够基本。比如5＋3和3＋4我们可以分别解释为5+1+1+1，和3+1+1+1+1。所以说，所有的加法都可以分解为若干个＋1。可是这还是有点麻烦，因为我们还没有定义1的概念。但是，我们转念一想，1的概念对于这个运算来说并不是必要的。比如5＋3，我们可以理解为5往前一蹦，往前一蹦，再往前一蹦。抱歉，我这是在玩语言游戏，“一”和“1”并没有什么卵区别。所以我们这里用一个计算机语言中常用的符号“＋＋”。我们将5＋3理解为把5“＋＋”3次。抱歉，问题还是没有解决，因为我们还没有3的概念。好吧，我们将5＋3理解为（（5＋＋）＋＋）＋＋。大功告成，我没有使用任何数字，只是借助＋＋来定义了这些概念。我们可以给出下一个定义了。

定义3：自然数是由对象0，0＋＋，（0＋＋）＋＋…等所组成

问题3.1：你凭什么说0是一个自然数？这个问题非常好解决，由一个公理就好了。我们说过了，公理是直接“硬钢”出来的，我们这么说，就这么决定了。于是我们给出：

公理1：0是一个自然数。

问题3.2：我们关注（0＋＋）＋＋这个东西，当然后面的也是一样的问题。在这里，＋＋这个符号我们使用了两次，这是令人十分不愉快的。这个问题我是这么理解的，这完全是我个人的理解，不知道对不对。我们在这样定义时0＋＋与（0＋＋）＋＋是用时给出的，这两者没有高低贵贱之分。然而，（0＋＋）＋＋中却包含了0＋＋，仿佛0＋＋是（0＋＋）＋＋的妈。0＋＋是（0＋＋）＋＋的妈并不可怕，我们又不在乎谁比谁矮一辈，但关键是你别把它们“并列”地给出来。所以，我们要按照“鸡生蛋”的逻辑定义自然数。我们来给出下一个公理：

公理2：若n是自然数，那么n＋＋是自然数。

定义3：定义1是数0＋＋，2是自然数（0＋＋）＋＋，3是自然数（（0＋＋）＋＋）＋＋，以此类推。

注意，这样的类推是完全合理的，因为我们只是给形如（0＋＋）＋＋的东西起个名字而已，我们之前说了，这个名字爱叫什么叫什么，阿拉伯数字也好，罗马数字也好，你说它叫苹果也一样的。

问题3：我们无法预测自然数的尽头是什么，比如我就想问，会不会又回到了0！

这其实并不是一个毫不可能的事，比如在计算机里，一个整数的二进制表示经过65536次增长就回归为0。显然，计算机系统里面自然数的概念并不是我们期待的自然数。所以，我们再补充一个公理：

公理3：对于任何自然数n，都有n＋＋不等于0.

命题：65536不等于0。

证明：根据定义，65536=65535＋＋，根据公理1和公理2，我们可以“一步一步”得到65535是自然数。（当然也可以得到65536是自然数，但这并不代表65536不是0。）此时再根据公理3，65536是自然数65535的“＋＋”，所以65536不等于0。

评注：这个命题看似显然，却同时用到了公理1－3才完成证明，可见我们刚才的工作不是徒劳！这里每个公理都是那么必要。

问题4：是，65536不会回归到0了，但是它可以回归到1啊！如果65536回归到1，接着65536是2，这样下去不与任何公理冲突！我们依旧可以通过补充公理来解决问题。

公理4：若n＋＋＝m＋＋，则必有n＝m。

通俗公理4：不同的自然数，它的“后继者”都不同。

你会发现这和“单射”的定义十分相似，虽然我们还没有定义“映射”，更没有定义“单射”。但是如果我们今后定义了，那么＋＋就可以看成映射，我们按照单射的定义把＋＋改造成了单射。

问题5：虽然你可能已经疲惫了，但是我们确实还有最后一个问题。这个问题就是：你凭啥说0.5这种模样的数就不是自然数！相信如果你坚持读到这里，一定会学会一点挑刺的技巧了，你会指责我“0.5这个数哪儿来的，咱还没定义有理数呢！”

没关系，这不是问题，我们也可以这样问：凭啥香蕉不是自然数，为啥苹果不是自然数，咋的0，1，2，3...以外的任何一个东西不是自然数。所以我们这里说的0.5不是一个有理数，只是任意一个东西。

思考：从逻辑学的角度，我们已经不需要再补充公理，或者说我们接下来给出的“补丁”并不是逻辑学中的“公理”，更加确切的说法是“公理框架”（axiom schema）。（这个领域任何中文翻译都不是特别统一，还是英文更便捷，但是“框架”这个表述还是比较生动形象的。）所谓“axiom schema”，是指产生公理的“模板”。然而这是逻辑学的问题，我们不加细致讨论，我们具体说出下面的axiom schema后，聪明的你应当可以感受到公理与axiom schema的区别。

公理框架：设P（n）是关于自然数的一个性质，假设P（0）是真的，并假设只要P（n）是真的，那么P（n＋＋）也是真的，那么对于每个自然数n，P（n）都是真的。

这个公理框架称为“数学归纳原理”，相比于公理1-4，这个表述更加抽象。但是相信大家在高中阶段已经一遍又一遍地应用数学归纳原理了，结合当时证明问题的过程，你可以很直观地理解这个表述。这里无非用P（n）这种抽象的符号概括具体概念，其实此时此刻我们也没法列举很多具体的性质，因为我们除了自然数什么也没有定义。

利用这个框架我们解决了最后一个问题，我们给出一个证明。

命题：苹果（你也可以替换为0.5啥的，或者任何我们想要淘汰的东西）不是自然数。

证明：我们给P一个具体的描述，称P（n）为“n不是苹果”。我们知道0不是苹果，即P（0）是真的。又有只要P（n）是真的，那么P（n＋＋）也是真的。所以我们推知P（n）对于一切自然数都是真的，也就是说一切自然数都不是苹果。

以上的公理1-4连带上一个公理框架称为Peano公理，自然数的概念完全建立在这5条公理上。接下来我们可以给出一个关于自然数的“严谨的”却“不正式”的定义。

定义4：存在一个数系N，称其元素为自然数，当Peano公理对数学N成立。

评论：我们说它是“严谨的”，因为这5条公理足以使自然数系统“无懈可击”；说它是“不正式的”，因为在当我们定义了集合后，我们可以给出更加“漂亮”的定义。不过，我认为我们忽略这种定义，这种“漂亮”并没有触及“骨髓”，最为“骨髓”来说，Peano公理已经足够了。

最后，让我们来回顾一下刚开始提出的问题，就是印度人与罗马人的那一组问题。

朴素的自然数定义是流于形式的，用学术一些的说法，是偏于“构造性”的，而“构造”方式是可以不同的，譬如定义为不同的名字，譬如来源于不同的实际问题。但是我们这样给出的定义是“公理化”的，也就是说我们完全在抽象的意义下给出了自然数的定义，无论是世界上哪一个民族创造的自然数体系，都是满足这个公理体系的，也就是说，我们平时所用的1，2，3，4，5，无非是适用于Peano公理的一种具体的模型而已。

罗马人的模型和印度人的模型，或者说适用于Peano公理的任何一种模型都是“等价”的，用学术的说法是“同构”的。在定义了上面提到过的“集合”相关的概念后，我们可以证明以下“同构性”事实：

假设我们有另样的自然数集N’，一个另样的零0’，以及一个另样的“增长运算”＋＋’，它把任何一个另样的自然数n’转换成自然数n’＋＋’，这样另类的系统适用于Peano公理，那么存在一个从自然数到另样自然数的双射f：N——N’，使得f（0）＝0’，并且对任何自然数n和n’，等式f（n）＝n’成立当且仅当f（n＋＋）＝n’＋＋’。这个命题体现了用“集合论”的性质定义自然数的优势。

然而，关于运算的那些疑问我们还没有解决，我还会回来的，等我哪天学数学学累了的时候我再写一些睡前小读物。