初三二次函数
知识点1、二次函数的概念案例1、(2016、上海松江区一模)下列函数中,属于二次函数的是(
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知识点1、二次函数的概念
案例1、(2016、上海松江区一模)下列函数中,属于二次函数的是( )
A、y=2x+1 B、y=(x-1)²-x² C、y=2x²-7 D、y=-1/x²
思路导引:判断一个函数是否为二次函数,其依据就是看这个函数是否满足二次函数的一般形式,即y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)。
解析:A:符合y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的形式,是一次函数,错误;B:整理后为y=-2x+1,符合y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的形式,是一次函数,错误;C:=2x²-7符合y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,是二次函数,正确;D:不符合二次函数的形式,不是二次函数,错误。
答案:C
点拔:本题 容易出现两类错误,一是被B中函数的表面现象所迷惑,在不化简的情况下就断定该函数是二次函数;二是机械记忆“二次函数中自变量的最高次数为2”,因而误认为D中的函数为二次函数。
变式1:(2016、浙江桐乡期末)下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)( )
A、y=ax²+bx+c B、y=√(x²-1) C、y=1/x² D、y=x²/8
答案:D A:a=0时是一次函数,错误;B:不符合二次函数的一般形式,不是二次函数,错误;C:不符合二次函数的一般形式,不是二次函数,错误;D:符合二次函数的一般形式,是二次函数,正确,故选D。
知识点2、根据实际问题列二次函数关系式
案例2、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每天盈利40元。为了扩大销售,增加利润,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施。经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,则商场降价后每天盈利y(元)与降价x(元)的函数关系式为 _________。
思路导引:本题中,每天盈利y(元)与降价x(元)之间的关系是每天盈利=每件衬衫x销售量,其中销售量=20+降价x2。
解析:∵每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,∴每件衬衫降价x元,商场平均每天可多售出2x件。
∵原来每件的利润为40元,现在降价x元,
∴现在每件的利润为(40-x)元
∴y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800。
答案:y=-2x²+60x+800
规律方法:列二次函数解析式的关键是理清函数值y与自变量x之间的关系。找出等量关系,构建函数模型。
变式2:设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系式
是( )
A、y=x²/2 B、y=x²/4 C、y=(x²√3)/2 D、y=(x²√3)/4
答案:D 根据等边三角形三线合一的性质,可知三角形的高为
x×sin60°=(√3)/2x,所以y=1/2x·[(√3)/2]x=[(√3)/4]x²,故选D。
知识点3、根据二次函数的概念求字母参数的值
案例3、已知函数y=(m²-m)x²+(m-1)x+m+1。
(1)若这个函数是二次函数,求m的值;
(2)若这个函数是一次函数,求m的值,并求出这个一次函数。
思路导引:(1)根据二次函数的概念,二次项系数不等于0,即可求出m的取值范围;(2)根据一次函数的概念,需二次项系数等于0且一次项系数不等于0,即可求出m的值,把m的值代入原函数关系式,则得到一次函数的表达式。解析:(1)函数y=(m²-m)x²+(m-1)x+m+1是二次函数,则m²-m≠0,解得m₁≠0,m₂≠1。∴当m₁≠0,m₂≠1时,这个函数是二次函数。
(2)解不等式组m²-m=0,m-1≠0。得m=0。∴当m=0时,这个函数是一次函数,其表达式为y=-x+1
规律方法:要求m的值或取值范围,需要得到一个关于m的方程或不等式(组),而得到关于m的方程或不等式(组)的基本方法,要根据相应的函数定义。
知识点4、求二次函数的值
案例4、已知y与x²+1成正比例,且x=3时,y=-18。
(1)求y与x之间的函数关系式,并判断该函数是否为二次函数,若是,指出相应的a,b,c的值;
(2)求x=-2时y的值;
(3)求y=-10时x的值。
思路导引:由y与x²+1成正比例,可设比例系数为k,然后根据x=3时,y=-18,即可求出k值。求出的函数关系式与二次函数的一般形式对照,即可知道是否为二次函数;在此基础上,分别把x,y的值代入函数表达式,即可求得相应的y的值与x的值。
解析:(1)设y=k(x²+1),把x=3时,y=-18代入,得-18 =k(3²+1),解得k=-9/5
∴y=(-9/5)(x²+1)=(-9/5)x²-9/5。
∴y与x之间的函数关系式为y=(-9/5)x²-9/5。
这个函数是二次函数,其中a=-9/5,b=0,c=-9/5
(2)当x=-2时,y=-9/5×(-2)²-9/5=-9
(3)当y=-10时,解方程-9/5x²-9/5=-10,得x₁=(√41)/3,x₂=-(√41)/3。
变式3:(2016、云南石林月考)对于二次函数y=x²-3x,当x=-1时,y=____。
答案:当x=-1时,y=(-1)²-3×(-1)=1+3=4。
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