为什么要引入用二分法求解方程？

在数学学习中，从研究已知量到认识未知量是一个变化，承认未知量，并通过等量关系建立方程，又是一个很大的变化。...

在数学学习中，从研究已知量到认识未知量是一个变化，承认未知量，并通过等量关系建立方程，又是一个很大的变化。认识方程，学会建立方程，这是方程理论的基础。求解方程是方程理论的另一部分，在传统数学教育中，求解方程是通过运算规律用系数表示解的过程。配方降幂、加减消元、代入消元等都是求解方程最基本的方法，将来我们还会学习其他求解方程的思想方法。实际上，用这样的方法，只能解非常少的有意义的方程，例如，一元二次方程，二元一次方程组，等等。对于一些高次方程，可以通过变形——变量替换变成上述方程，从而可以“求解”。用这种方法研究方程，意义不大。两位年青天才的数学家阿贝尔和伽罗华把研究高次方程引向了正确的轨道，建立了“群论”，成为了近代数学的重要基础。

方程理论的另一个重要发展是与函数的联系，把方程看作函数的局部性质，求与x轴相交的自变量的值。这种观念可以帮助我们思考，是否能通过函数的性质求解方程？二分法为我们打开了眼界，二分法依赖以下结果：区间上的一个连续函数y=f(x)，如果自变量a与b的函数值符号相反，则存在一个位于a与b之间的值，使得它的函数值等于0。对这个结果不必深究，在大学中，除了数学系的学生要学会证明之外，其它专业的学生都仅仅承认这个结果，使用这个结果。二分法不难，它的重要意义之一在于打开了求解方程的思路，反映了数学中非常重要的思想。在微分方程的基础上发展的“算子理论”，就是这一思想的延拓。

二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。在实际中，离不开近似，近似孕育着极限的思想，它可以达到我们要求的任何精度。这种思想可以用于确定函数值等等。在中小学课程中，极限的思想是逐步渗透的，例如，确定圆的面积时，学生就会用内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，这些思想很容易迁移到求其它面积和体积问题。测量的近似是极限思想又一次体现，这样不断地积累，逐步地形成极限的概念和定义。这是一个比较长的归纳抽象的过程。

这里我们希望老师认真思考，在数学中，什么是重要的？重要的东西不在于难，不在于“技巧”，在于它是否蕴含重要的思想，在数学发展、在实际应用方面是否有用。

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