数形结合，算术方法解决一个问题

有如下问题：小张，小王和小李三人进行自行车比赛，小张比小王早12分钟到达终点，小王比小李早3分钟到达终点。已...



有如下问题：

小张，小王和小李三人进行自行车比赛，小张比小王早12分钟到达终点，小王比小李早3分钟到达终点。已知小张比小王每小时多快5千米，小王比小李每小时快1千米。则比赛的路程是多少千米？

此题算术方法不易，现用数形结合的思路尝试。

数形结合需要有的一个观念：

本题中涉及两个数的乘积，即速度与时间的乘积。我们可以把速度与时间看成是长方形的两条边，面积则是路程。



温馨提示：



下面的图形和表达方式，看起来好象很复杂，但只要花一点时间静下来理清思路，还是很简单的。让我们考虑小李与小王。如上图，线段ＡＢ表示小李的速度（以千米/小时为单位，确定单位后，我们就只考虑数值了），线段ＢＣ表示小李的时间（以分为单位）。于是，长方形ＡＢＣＤ的面积就表示小李走的路程。类似的，ＢＥ表示小王的速度（比ＡＢ长1），ＢＨ表示小王的时间（比ＢＣ短3），长方形ＥＢＨＦ表示小王的路程。显然，这两个路程是相等的，所有两个长方形面积相等，从而可以得到下图中涂色的两个小长方形面积也相等（两个面积相等的长方形都减掉了ＡＢＨＧ部分），考虑到这两个面积相等的小长方形一个有一条边长为1，另一个有一条边长为3，所以，图中ＡＧ应为ＧＨ的3倍，即若把ＧＨ看作一份，则ＡＧ为3份。

现在，我们再把小张考虑进去，如下图所示。我们来考虑小张和小李。上图中，ＢＩ表示小张的速度（比ＢＡ，即小李的速度多6），ＢＬ表示小张的时间（比ＢＣ，即小李的时间少15）。类似的道理，长方形ＩＡＫＪ的面积等于ＫＬＣＤ的面积。类似的，考虑到ＬＣ是ＡＩ的2.5倍（15/6＝2.5），可知ＡＫ应为ＫＬ（与前面设为1份的ＧＨ相等）的2.5倍。即ＡＫ为2.5份。于是ＫＧ＝ＡＧ-ＡＫ应为0.5份。ＫＧ显然与ＬＨ相等，为12，0.5份为12，1份为24。这样，表示小李速度的ＡＢ也为24（与ＧＨ相等），而ＡＧ是3份，为72，ＢＣ＝ＡＤ＝ＡＧ+ＧＤ＝72+3＝75.

这样，小李的速度为24千米/小时，时间为75分，即5/4小时。路程为24*5/4＝30千米。

也许你还有一个顾虑：速度为千米/小时为单位，时间以分为单位考虑，可以吗？如果你有兴趣的话，可以用类似的方法，以小时为单位考虑时间试试，结果是一样的。

当然，这样的解法有多少价值，可以见仁见智，欢迎大家讨论。

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