圆的周长、面积与微分、积分

有了面积公式，用微分（求导函数）可以求得周长公式，有了周长公式，积分可以求得面积公式。可见，微分（求导函数）与积分是互逆的过程，有点算加法与减法，乘法与除法。...

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先把前面谈到的问题简单理一下。

所谓微分，就是一点点。对函数而言，x的一点点变化，一点点小到不能再小的变化，就是x的微分，记为dx，x的一点点化，会引起y的变化，记作dy，称为y的微分。这种变化也是一点点。考虑这两个一点点变化的商dy/dx是有意义的——它表示y随x变化的剧烈程度，或者叫变化率。比如，如果y是路程，x是时间，路程微分与时间微分的商，即一点点路程的变化与相应的时间的变化的比，就是速度。所谓速度，就是表示路程随时间的变化而变化的剧烈程度，或者说，速度是路程对于时间的变化率。这个商通称与x有关。（正如在速度变化的运动中，速度的大小与时间有关一样。所以这个商也是x的函数）。正因为这个东西商有意义，我们专门取个名字，对，我们把dy/dx称为导函数。

所谓积分，就是把这一点点变化累积起来。比如我们知道了速度是如何随时间变化而变化的，我们希望知道从第3秒到第10秒，共运动了多少路程，我们就把这7秒的时间分成很多很多小份（时间微分），每一小份对应着一点点路程，然后把这很多个一点点路程给累加起来，这就是积分。当然，这里还有一个技术细节:就算是那一点点时间内，速度也是变化的，那一点点时间内的路程也是没法求的。我们的处理思路时：因为时间变化很小很小，所以速度的变化也很小很小，我们就认为，在这一点点时间内，速度没有变化。就在这段很短很短的时间内，随意取一个时间点，把这个时间点的速度就看成是这一小段时间内的速度。

以上这两件事，是有联系的，这种联系，就是著名牛顿—莱布尼兹公式。接下我们讨论这个公式。

今天，我们用圆的周长和面积来初步认识这种联系。圆的周长，面积

面积到周长——微分

我们知道，圆的面积计算公式是这其实是面积与半径函数关系。我们来考虑一下这个函数的导函数，即面积的一点点变化与相应的半径的变化的比：先从几何上看看，这个比是什么意思：（严格的讲，这里的dS,dr分别应为△S和△r）

你得把dr想得比看到的小很多，能不能想象：dS/dr其实就是周长！得想着把那一条蓝色的环拉直（想象而已），大体是一长方形，长是周长，宽是dr，显然，dS/dr就是周长。假如我们只知道面积计算公式，我们现在按这个思路来求周长公式：

考虑让△r充分的小，上述等式中的△r就忽略不记了。于是就有周长到面积——积分

现在反过来，假设我们知道了圆的周长公式：我们来推导面积公式。

如下图：我们把半径r平均分成n分，每份为r/n，每个环的宽度即为r/n,想象着把每个环拉直（想象而已，实际拉不直的，但当每一份充分的小时，差不多就成了），拉直后的长度（利用周长公式）分别为：面积就是用这些长度乘宽度r/n.

总面积为:只要n充分的大，上述结果就会充分接近这样，我们就得到圆的面积计算公式：现在小结一下：

有了面积公式，用微分（求导函数）可以求得周长公式，有了周长公式，积分可以求得面积公式。可见，微分（求导函数）与积分是互逆的过程，有点算加法与减法，乘法与除法。

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