听爱德华·弗伦克尔跟醉汉讲数学之后_【数学与思维】

爱德华·弗伦克尔在他的《爱与数学》一书中写下这了样一段跟醉汉讲数学的话，我们从中看到了分子加分子，分母加分母的意义。...

醉汉与分数

爱德华·弗伦克尔在他的《爱与数学》一书中写下这了样一段话：

醉汉应该是凭经验判断的，若他没有这个经验，我们来替他想一想，如何能够作出“三个人分两瓶”会比“五个人分三瓶”更好的。

我们把“五个人分三瓶”这事分成两部分：一部分是3人分2瓶，另一部分是2人分1瓶。显然，2人分一瓶不如3人分2瓶。于是，5人分3瓶，相当于其中一部分人（3人）是按“3人分2瓶”的标准配备的，另一部分人（2人）是按低于“3人分2瓶”的标准配备的，整体而言，“5人分3瓶”不如“3人分2瓶”。

这个思路给我们一个简单的比较分数大小的方法。

比如，比较大小：

我们按醉汉的思路来处理。到底是7个人分4瓶好还是9个人分5瓶好呢？把9个人分5瓶理解为其中7个人分4瓶，另2个人分1瓶。2人分一瓶不如7人分4瓶，于是整体上看，9人分5瓶不如7人分4瓶。

一般的

我们使用一个符号，来表示9人分5瓶可以分解为7人分4并与2人分1瓶：

如果这也叫加法的话，那就真是分子加分子，分母加分母了。

若要比较4/7与5/9的大小，先把5/9按上述分式拆成4/7与1/2的“和”，只要看1/2与4/7谁大谁小即可。

4/7与4/7相等，4/7若拉一个比它还小的1/2来入伙，变成5/9，就不如原来了！

不错，这个特殊的加法，就是拉人入伙的意思。

按这个思路，我们来比较一下两个分数的大小：

13/22拉一4/7入伙，就得17/29:

拉这个入伙值不值，就看13/22与4/7哪个大了！同样，4/7拉9/15入伙，就得13/22：

现在比较4/7与9/15

现在再比较4/7与5/8

1/1显然大于4/7，于是4/7拉1/1入伙，变强了，即5/8大于4/7。类似的道理，往上考虑，不难发现，下面括号里要么都填大于，要么都填小于，由最后一个，只能都填小于。

或者说，我们把17/29与13/22的大小比较转化为4/7与13/22的大小比较，并最终转化为4/7与1/1的大小。

突然感觉这有点象“更相减损”！

其他

另，还有一个分数的性质，可以由这个醉汉的思路得出：

只要3个人分2瓶的配备与5个人分3瓶的配备不相等。那么，把这两组合成一组，那就提高了原来的低配，同时拉低了原来的高配。也就是8个人5瓶的配备介于原来两者之间。一般的：（b+c）/（a+d）的大小是介于b/a与c/d之间的，考虑到与醉汉解决相配，这里的a，b，c，d都大于0。

最后，分数的基本性质也是可以由醉汉思路来解释的：

第一组是3个人分2瓶，第二组也是3个人分2瓶，第三组，第四组，直到第n给都是如此，把这些组合成一大组，配备水平是不变的。于是有：