缘于七年级孩子的微积分入门（一）

一朋友来电话说，她的孩子才读七年级，想自学微积分，没找到合适的书。想请我推荐。我记忆中秦元勋先生写过一本《从算术到常微分方程》，写得比较简单。就推荐并告知：书已经不太好买，我借他。回来在书架上找没找着。想，我何不写一点微积分入门的材料呢？...

先想了以下几个问题，边写边继续想！从坡度说起

和朋友或家人驾车行驶在高速公路上时，经常能看到关于坡度的警示牌。比如急下坡4%之类。（下图中的60%也是坡度，但不可能是在高速公路上）路上无聊时，常常也会问问同车的人：“急下坡4%”中的4%是什么意思？通常得到的回答是不知道。继续问：能不能猜一猜，通常也得不到答案。因为是闲聊，也就没给人上课了。这里讲清楚这个事。其实很简单，就是竖直方向移动的距离与水平方向移动的距离的比值。

下图中，h/H即为坡值。我们关心得更多的是角度，下图是角度与坡度的对应关系近似)。下面是著名的江岛大桥，看起来很陡吧。其实是只有6%。看看它的侧面：

坡上某一点的坡度

道路上的坡度，我们通常是整体看的。

我们来看看下图：这个坡度为20%，一直没变。于是我们就说这上面每一点的坡度都是20%：A点的坡度是20%，B点的坡度也是20%。

下图呢？坡度在C点发生了变化，开始变大了，变大后就没继续变了。事实上，D点和E点的坡度都是100%，但C点的坡度不太好说，因为坡度在这一点突然发生了变化。

我们再来看下面的图：凭直觉，从A经B到C，坡度应该是越来越小，这种变化是连续的。那么在A,B,C三个点上，坡度分别是多少呢？C点的坡度似乎可以说成是0，其他两点呢？

再说速度

我们都知道速度，就是刻画物体运动快慢的量。你的汽车前面就有个速度表，当你开着车匀速前进时，你的看你眼前的速度表，60，你完全理。现在你开始不断的加油门，速度在不断的提升，你瞧一眼眼前的速度表，80。是什么意思呢？当速度在不断的变化时，此时此刻的速度是什么意思呢？

这样越来越快的事，我们还有很多经验。两个铁球同时落地，我们太熟悉了。伽利略放下那丙个铁球时，它们的速度时刻都在变化，越来越快，最终同时落地，但到底多长时间落地呢？牛顿解决了这个问题。有个式子，说明在一定范围内（离地球表面太远不行），在理想状态下（不考虑空气阻力之类），放下一个物体，让它自由落下后的情况。这个式子是其中S表示物体下落的距离，以米为单位，t从开始下落算起的时间，以秒作单位。这说明伽利略放下那丙个铁球2秒后，球将落下4.9*2*2=19.6米。比萨斜塔只有50多米，落下也就3到4秒。但我们想问，铁球不断加速，当它砸到地面的那一瞬间，速度到底是多少呢？

看看这个小动画：明天讲与这个有关的：积分干什么！

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