不妨设＆同理，数学里的套话你会不会讲？

微信后台经常有童鞋留言，希望谈一谈圆锥曲线综合题的解法.今天借一位朋友问的一道题说说定值问题.圆锥曲线综合题...



微信后台经常有童鞋留言，希望谈一谈圆锥曲线综合题的解法.

今天借一位朋友问的一道题说说定值问题.

圆锥曲线综合题是一个大话题，一篇文章肯定谈不完，咱们慢慢来.记住，这是一个系列剧、连续剧.

题目是这样的.

第1问不多说，考察椭圆的基本几何性质.



综合题是系统工程，要全面分析所求和条件，找到它们相互沟通的桥梁.

分析第2问，首先从所求的面积出发.

面积的计算有两个选择：



不同的选择，意味着解决问题的难易程度、运算的复杂程度不同.我们当然要趋利避害.

解圆锥曲线综合题，运算量本身就是大问题.

• 如果选择方案1，我们需求解的量如下：

1.OA或OB的长度

OA,OB都过原点，则A,B的坐标易求，从而OA,OB的长度易求.

2.A点到OB的距离或者B点到OA的距离

OA,OB的方程都是易写的，A,B的坐标也易求，采用距离公式求解也不是大问题.

• 如果选择方案2，我们需求解的量如下：

1.OA或OB的长度

这个问题同上，不难解决

2.夹角AOB的正弦值

这个问题比较棘手，我们能想到的办法也许是：通过两条直线的斜率，计算夹角AOB的正切值，然后由正切值求正弦值.

两相比较，方案2心里没底，解决办法比较曲折，而方案1直接清晰，我们采用方案1.





第1个词----不妨设.

神马情况下用？

本题中过原点的直线与椭圆有两个交点，不管你用哪个交点去计算，面积都是相等的.又因为两个交点关于原点对称，必然会有一个交点的横坐标是正数.

在这样的情况下，我们为了避免没必要的讨论，使用了“不妨设”.

第2个词----同理.

要防止这个词语的滥用.

大家注意看，求解B点坐标的过程和求解A点坐标的过程完全一样，只不过把斜率换了而已.

在这样的情况下，可以直接在结果中替换斜率.

接着往下做.



三角形的底和高都准备好了，下面求面积.



大家可能也注意到了：在运算过程中，我一直没有用k1表示k2然后代入.

为神马呢？

因为那样，运算显的麻烦，仅仅是显得麻烦，也足以淘汰一部分学生了.

总之，运算量能少一点是一点，即使只是形式上简单一些.

下面到了必须代入它们关系的时候了.



在这个式子中，我们把入看作常数，但是斜率k1是变化的.

为了使得面积为定值，只能使得根号下分式的分子和分母成比例，以实现约分的效果.



从本题获得的经验：

1.相同过程用同理；2.不影响结果用“不妨设”；3.成比例是得出定值的途径之一.

推荐阅读：如何看两个函数对称和函数的对称轴？

上一篇:秒算圆的切点弦方程

    关注 高考数学左老师