Comsol 基础案例教学：一元代数方程求根

利用comsol求解一元代数方程。...



这次我们介绍COMSOL Multiphysics在方程求根方面的基础案例。代数方程，即由多项式组成的方程，是最简单的方程形式。下面以最简单的代数方程为例，先尝试利用COMSOL Multiphysics求解一个一元二次方程的根。

上式求根的结果是一个数，相当于三维空间的一个点，是零维的。如上方程的根求解可借助COMSOL Multiphysics的数学模块进行求解。例如可利用系数型偏微分方程进行求解

系数型偏微分方程为



首先，把方程(1)的解看成常函数u（x）

而且我们假定u（x）不随x变化，这样方程(4)的解就是方程(1)的解。首先，把方程(1)的解看成常函数，当令方程(3)中的系数  
，这样方程(3)就简化为如下形式：

我们可以利用这样的简化形式(5)对方程(4)求解，也就是对方程(1)求解。例如，当设定方程(5)中的函数


选择模型向导，选择一维，选择数学，选择偏微分方程接口，选择系数型偏微分方程，选择增加，选择研究，选择稳态，选择完成选择定义，右击，选择参数，添加

（u0取值根据估算值取，此处取10，是因为与理论值接近。但不能取4，因为两个解关于4对称）选择组件1，选择几何1，右击，选择间隔，点击构建所有对象选择组件1，选择系数型偏微分方程，选择系数型偏微分方程1，设定   

选择组件1，选择系数型偏微分方程，选择初始值，设定选择组件1，选择网格1，右击，选择全部构建选择研究1，右击，选择计算，求解完成选择结果，选择派生值，右击选择点计算，选择点1，点击计算

表1给出了利用COMSOL Multiphysics自带的系数型偏微分方程对一元二次方程的根进行求解的步骤。计算中我们设定常函数 u(x)  初始猜测值为 
，我们利用上述步骤实现方程根的求解。计算结束后，在输出窗口中显示出结果：因变量u(1), 点：1  7.3166。

解析解得出的距离
最近的根为 
，数值解能够很好的与其吻合。注意到，由公式知，代数方程还存在一个根为

，如果重复表1的求解过程，注意需将 
改为
，即将最初设置的猜测值为  
，则COMSOL Multiphysics解出u=0.68337，与根
非常接近。

算例体现了comsol使用的牛顿法求解器的两个特性：(1)非线性问题可以有多个解；(2)初始猜测值对于求解很关键。牛顿法通常收敛到最接近的解，但是在高阶非线性问题中，这点可能不成立。这些特性在多维求解空间和“空间-时间”相关系统中同样适用。

附录：操作过程中的部分截图

    关注 百纳知识