用中项法证明两等数列

接昨天的内容讲一道数列题.分析：昨天的文章含参数的等比数列提出，证明数列为等差或等比数列的首选方法是定义法....



前面写过一篇《如何证明一个复杂数列为两等数列？》，介绍的是定义法.

定义法是主要办法，能不能搞定所有题目呢？

当然会有例外.看下面这道题.

定义法的出题模式是这样的：题中给出数列的相邻两项bn和bn+1的关系，要求证明某个含有bn的复杂数列为等差或等比数列.

解法就是：若要求证明等差，就用bn+1-bn（后项减去前项），代入题中所给关系式，化简得出结果是一个常量；若要求证明等比，就用bn+1/bn（后项除以前项），代入题中所给关系式，化简得出结果是一个不为零的常量.

本题比较独特：虽然要研究数列{bn}，可是题中给出的关系式中却夹杂着数列{an}，即出现了两个数列混合的形式.





我们要想方设法把an，an+1消去.

如何消去呢？



这样an+1就可以用含有bn的关系式来表示了.

可是（1）式中还有an怎么表示呢？

这就要用到数列的迭代思想，（3）式中n的取值是任意正整数，我们可以把每一项的脚标同时减小一个.



我们成功地把an和an+1用含有bn的式子来表示，下面用代入消元法.



这种证明的方法称为中项法.

说的具体一些，中项法又分为等差中项法和等比中项法.



下面的求解过程顺理成章，先求中间数列的通项，它帮助我们最终求得数列{bn}的通项.



小结：证明复杂数列为等差或者等比数列的方法有两种

1. 定义法
2. 中项法.

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