结构拓扑优化的基本原理和三种常用的方法

拓扑优化设计是在给定材料品质和设计域内,通过优化设计方法可得到满足约束条件又使目标函数最优的结构布局形式及构件尺寸。...

什么是拓扑优化设计？

拓扑优化设计是在给定材料品质和设计域内，通过优化设计方法可得到满足约束条件又使目标函数最优的结构布局形式及构件尺寸。

图1 摆臂拓扑优化的设计与非设计区域

图2 施加载荷及边界条件的摆臂有限元模型

自1988 年Bendsoe与Kikuchi提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来，近二十几年间结构拓扑设计研究得到深入和广泛的研究，已成为国际工程结构与产品创新设计领域的热点。

目前，拓扑设计理论在柔性受力结构MEMS器件及其它柔性微操作机构的设计中得到了广泛的研究。

目前结构优化技术有四大领域

尺寸优化( sizing optimization)
形状优化(shape optimization)
拓扑与布局优化(topology optimization)
结构类型优化

拓扑优化设计的流程

目前主要的拓扑优化方法

1. 均质化方法(homogenization method)

均质化方法是连续体结构拓扑优化研究中应用较广的一种物理描述方法。Bendsoe与Kikuchi于1988年提出基于均质化方法的结构拓扑优化设计基本理论。

其基本思想是在拓扑结构的材料中引入上图所示微结构。实体材料所占的面积可用以下表达式来表示：

单元的密度函数为：

式中：0 ≤a≤1，0≤b≤1，Ω是设计区域，Ωs是实体区域，ρs是材料的密度，其设计参数有a、b和该微结构的方向角θ。

主要应用领域：目前均匀化方法研究范围主要涉及多工况平面问题、三维连续体问题、振动问题、热弹性问题、屈曲问题、三维壳体问题、薄壳结构问题和复合材料拓扑优化等方面的问题。

2. 相对密度法(artificial materials)

相对密度法是一种常用的拓扑优化方法，基本思想是不引入微结构，而是引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料。它吸取了均匀化方法中的经验和成果，直接假定设计材料的宏观弹性常量与其密度的非线性关系。其中应用得比较多的模型是SIMP(solid isot ropic microst ructure with penalization)法。

其基于最小柔度的优化模型如下：

设材料模型为：

则拓扑优化模型为：

式中：ρ0和E0分别是均质实体的密度和弹性，xe是单元的相对密度，p是惩罚因子；U、F是分别是位移矢量、力矢量，K是总体刚度矩阵，Ue是单元位移矢量，Ke是单元刚度矩阵，N是单元总数，f是体积系数。

优化时以单元的相对密度xe为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布问题。

3. 进化结构优化方法( evolutionary structural optimization)

进化结构优化法是由Xie和Steven提出的，其起源于应力设计技术，认为在设计域内，在结构上不起作用的材料，即那些低应力或低应变能量密度的材料是低效的，可以去除的。材料的去除可以通过改变作为应力或应变能量密度函数的弹性模量或直接删去那些低应力或低应变能量密度的材料空间。通过将无效或低效的材料一步步去掉，剩下的结构将逐渐趋于优化。

进化结构优化方法是一种能够同时删除和增加材料的进化结构优化方法，即在删除低效材料的同时增补高应力区域周围材料，初始设计的区域可以比较小，从而提高了计算的效率。

拓扑优化的求解方法

优化准则法(optimality criteria)
序列线性规划法(SLP：sequential linear programming)
移动渐进线法(MMA：method of moving asymptotes)

拓扑优化中的数值不稳定问题

(1) 棋盘格式问题：所谓棋盘格式,是指优化过程中材质密度周期性高低分布的一种现象。

(2) 网格依赖性问题：网格依赖性是指随着结构所划分的单元的数量改变，所得的优化结果也跟着变化，即经常出现的结构拓扑不具有唯一性。

(3) 局部极值问题：当选取不同初值时，可能导致其优化结果收敛于不同的局部极值点。