极值的估计方法

文内有好听的民乐，是对认真思考的奖励....



微信朋友圈昵称为“微信掩饰的汗水”的童鞋问到了下面这道导数题.



很显然，我们应该把极值点求出来.

下面是求极值点的常规步骤.



以我们目前的能力，方程（1）是解不出来的，也就是说无法得到极值点的具体值.

虽然得不出极值点，但是题目要求我们研究极值的范围.

我们不妨来看看极值的形式.



是不是很复杂涅？

不知道极值点，竟然要求极值，而且极值的形式还这么恐怖，出题人还有人性嘛.

不急，不妨换一个思维角度.题目只要求判断极值范围，而不要求解具体的极值.所以，我们可以把极值点满足的方程（1）作为条件，从而对极值进行化简.

有两种化简的方向.

方向1：



我们只需要研究这个二次函数即可.

方向2：



我们只需要研究h(x)即可.

亲爱的朋友们，你会选择哪个方向呢？

此处独立思考2分钟.

我们分析两种方向的优劣.

方向1的好处是g(x)为常见的二次函数，我们比较熟悉，方便作图、方便研究.

缺点也很明显，就是这个函数是含有参数a的，这对我们研究构成了障碍.

方向2的好处是h(x)解析式中不含参数，缺点就是函数不熟悉.为了研究函数h(x)的性质，可能需要用到求导等手段.

甘蔗没有两头甜，两害相权取其轻.

我们试试方向2.

为研究两个极值的范围，需要做两方面的工作.

1. 要研究两个自变量，即两个极值点的取值范围；
2. 要研究函数h(x)的单调性.

先研究自变量x1,x2的取值范围.



研究复杂方程的根的问题，或者复杂函数的零点问题，通常转化为两个常见函数的交点问题.

这是典型的数形结合思想.



下面在同一坐标系中画出两个函数的图象.



为研究直线y=2ax-1和曲线y=lnx的相交的情况，先研究二者相切的情况.



以上解法也是处理“过”型切线问题的通法.



下面研究函数h(x)的单调性.



结合两极值点的取值范围，我们给出结论.



观察选项，发现还是选不了，因为f(x1)的符号确定不了.

我们换一个思考问题的角度，直接从函数解析式出发.



这也提示我们，如果只要判断函数值符号，也许不需要求导这么麻烦，直接研究解析式各部分符号即可.

小结：

1.极值点如果求不出来，可把极值点满足的方程作为条件，从而化简极值；

2.函数思想处处用到，要主动构造函数，尽量构造不含有参数的函数；

3.研究函数值范围，需分别研究自变量范围和函数单调性.

读完本文，思考2个问题:

1.从方向1出发好不好做，能不能做，请实践；

2.本题为选择题，有没有快速解决问题的办法，比如特值法、排除法、极限法？请思考.

BTW，今天听到不错的民乐，与大家分享.

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