音乐中的数学表达（本科教学8）

去年，我一位研究生同学在与人谈合作时因为需要证明自己的硕士论文做的是计算机在音乐中的应用，心急火燎给我打电话...



去年，我一位研究生同学在与人谈合作时因为需要证明自己的硕士论文做的是计算机在音乐中的应用，心急火燎给我打电话问25年前不经意间给我的（他的）硕士论文拷贝是否还能找到，我翻箱倒柜找了很长时间，还真找到了这本1990年的北航研究生院软件工程专业论文“五线谱制谱系统的设计与实现”。之所以还保留着，一个原因就是我同学九十年代初用C语言做出的软件能够精准地同步音乐的节奏，与歌厅里唱卡拉OK时电视屏幕上的滚动条与歌词同步一样，当时给我印象深刻。我还记得他说过，做完这个软件后，才发现音乐与数学是相通的。我一直记得他说的这句话，这段时间因在研究我校各学院本科办学特色，我请他把他20多年前的感觉和体会写出来以供挖掘数学与音乐专业之间的关系时参考。清明假期，我同学如约给我写了一篇“音乐与数学之间的关系”的短文，根据我的理解，我把他的文章做了较大的修改和添加，试图找到数学与音乐之间本质相同的东西（相似性）。以下是这篇短文。

音乐有四个基本属性，亦即高低、长短、强弱和音色，也有将四个基本属性称为旋律、节奏、和声和音色的，还有很多其它名称，尽管叫法不同，但音乐最基本的属性就是四个。（音）高低和长短构成旋律；长短则是音乐的节拍；强弱表达了音乐的情绪起伏；音色则是对音乐寓意的不同诠释。

音乐的这四个基本属性都与数学有着某种联系。

1.高低

音乐的旋律由（音）高低组成，而高低的表达方法是用数字或等高间隔来表达的。例如简谱的1234567或五线谱的等高间隔。它们的本质都是用数学的方法来表达。其实音乐本身律制也是由某种数学关系决定的。最通行的五度相生律和纯律就是用纯数学推导出来的那种最和谐音律。而十二平均律则又是最完美贴切到那种纯律制（五度相生律和纯律）衍生出来的律制，其目的就是完美地完成了各种调式的转换。所以说旋律可以用数学的方法对其进行最完美的解释和表达。

2.长短

长短是指一个音符的长短（也有叫时值的），长短（节拍）是连续音符之间对时值进行分配的一种规则。无论是时值还是节拍都与数学有着完全确定性的关系。例如四分音符、八分音符、十六分音符等等。四三拍的节奏、四四拍、四二拍等等，这些都只能用数学形式予以表达。长短对音乐的作用完全不亚于高低，即便是同样的旋律，如果用不同的时值或节奏来演绎的话，其带给人感受的结果则完全不同，所以长短和高低构成了音乐最核心的两个要素。一般来讲，只要有了这两个基本要素，那么一个音乐作品的基本特征就已经被确定下来了。

3.强弱

强弱（音量）在音乐中的地位相对较前两个属性次要一些，因为即便是业余演奏的水平，对音乐的强弱掌握并不是十分准确的时候，但只要旋律（高低）和节拍（长短）没有问题，那么音乐的本身特征绝对不会被错误的理解，也就是说，强弱把握不准不要紧，只要把旋律和节拍把握准了，就不会唱“左”。即，强弱或是音量对理解音乐不会让人们带来非此即彼的影响。但（音）强弱可以很好地诠释音乐感情方面的情绪色彩。另外，无论是五线谱，还是简谱等等其他乐谱，均未对强弱有精确的标注，对音乐强弱的把握全在于歌唱家和演奏家对音乐的理解，而且正是由于没有对强弱进行明确的规定，也就给不同的演奏者或是演奏团体带来了各自的演绎风格的尽情发挥，适当地和准确地演绎一首乐曲音强和音量可以给人带来更好地理解和享受。

音乐是一种声音，声音是一种声波，声波与电波相似。声音的音量的高低从物理上来讲与电流大小有关，功率大则音量大，物理上电流的大小也是可以用数学公式精准描述的。还有，声波在笛卡尔坐标中就是一元二次方程曲线，音量的大小正好对应波形的起伏，X坐标表示时间，Y坐标表示声音的大小。

4.音色

音色是音乐中最能表达个性的属性。用物理的语言来解释音色就是频率，而频率又可以用数学式子精确表达。音色是由多个单音组成，叫和声。央视“挑战不可能”节目中有一个北京的盲人女钢琴调琴师，她居然可以用耳朵听出一个和声中三个单音！经过专业视唱练耳训练的人也只能分辨一个和声（混音），极难分辨出来这个和声是由哪三个单音组成的。一首乐曲用不同的乐器演奏，或者即便是同一个乐器不同人的演奏也会给这首乐曲带来显著的不同，就会使人得到明显不同的感受。不同的乐器对同样的乐曲有着相对固定的音色表现，不同人用同样乐器表演乐曲也会有某种程度上不同的表现力。这也就促成了我们会去听不同的音乐会和不同人演奏的音乐，从而享受不同的对音乐的理解和感受。

从表面上看音色似乎与数学完全没什么关系，其实它还真是有着最重要的本质关系。我们从数学的傅立叶级数这个基本的数学方法可以推导出，任何音色都可以通过一个完整的傅立叶级数的方法从声波的角度对其进行绝对精准和精确地描述，其原因就是音乐的音色就是合成的频率。所以，只要是这个世界上存在的乐器或音色，最终都可以用傅立叶级数的方法来对其进行合成并模仿。所以说音乐中的音色从本质上说与数学更是息息相关的了。

现代数学的定义为数学是研究现实世界中一切对象和关系的科学，从这个定义上讲，音乐也是由对象和关系组成，也可以成为数学研究的范畴。只要按数学研究的方法，将其研究的对象赋予相应的概念，对应关系建立运算及其法则，都可用数学的方法研究音乐。电子琴就是运用电子频率合成的方式发音，而不是像传统钢琴那样由音锤撞击音板发音，早已出现的电脑音乐就是使用的这个原理。昨天，电子科大官微有报道，一个叫阿鲲（电子科大07届通信专业毕业生）的音乐人创作了大家耳熟能详的《舌尖上的中国》、《芈月传》等片子中的音乐，不讲出来，没人会相信这些优美的音乐都是出自这个工科男之手。细想后也不奇怪，音乐就是数学的频率嘛。再从哲学的高度上来讲，事物都是联系的。从《相似论》提出的观点来看，事物都是相似联系着的。从学科分类的角度上分析，数学学科与音乐学科看似遥远，但从以上陈述可以得出，数学与音乐有本质的关系，虽然这种关系不易被一般人察觉。

（后记：由于我们并未专业地学过音乐，我同学会几种乐器，我只会一般地欣赏音乐，所以在文章中的一些音乐专业术语不一定用得很准确，音乐四种基本属性与数学之间的关系也只是肤浅地指出来了，还并未进行系统的逻辑梳理。有机会真可以与学音乐、数学专业的人一道好好深入地研究研究两者之间的关系。）

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